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Hirzebruchsches Problem in der Mathematik gelöst - Chernsche Zahlen von Varietäten und Mannigfaltigkeiten

10.06.2009 - (idw) Ludwig-Maximilians-Universität München

Im Grenzgebiet zwischen zwei mathematischen Fachgebeiten, der Topologie und der algebraischen Geometrie, widersetzte sich ein von dem Mathematiker Friedrich Hirzebruch formuliertes Problem seit mehr als 50 Jahren allen Lösungsversuchen. Es geht dabei um die Beziehungen verschiedener mathematischer Strukturen zueinander. Dem LMU-Mathematiker Professor Dieter Kotschick ist hier nun ein Durchbruch gelungen: Er konnte das Hirzebruchsche Problem lösen, wie online in der Fachzeitschrift PNAS berichtet. Die Topologie behandelt flexible geometrische Eigenschaften von Objekten, die sich bei Verformungen nicht verändern. In der algebraischen Geometrie werden manche dieser geometrischen Objekte mit Hilfe von Gleichungen beschrieben und erhalten dadurch eine starre Zusatzstruktur. Bei dem Hirzebruchschen Problem geht es um die Beziehungen zwischen starren und flexiblen Eigenschaften. (PNAS, 09. Juni 2009)

Selbst ein zusammengedrückter Ball ist, topologisch betrachtet, noch immer eine Kugeloberfläche. In der Topologie kommt es auf die geometrische Form nicht an. Anders ist es in der algebraischen Geometrie. Dort werden geometrische Objekte wie Kugeloberflächen durch sogenannte polynomiale Gleichungen beschrieben. Im Grenzgebiet der beiden mathematischen Fachgebiete Topologie und der algebraische Geometrie ist Professor Dieter Kotschick von der Ludwig-Maximilians-Universität (LMU) München nun ein Durchbruch gelungen.

"Ich habe ein Problem lösen können, das vor mehr als 50 Jahren von dem berühmten deutschen Mathematiker Friedrich Hirzebruch formuliert worden war", sagt der Mathematiker. "Das Hirzebruchsche Problem behandelt die Beziehungen verschiedener mathematischer Strukturen zueinander. Das sind zum einen sogenannte algebraische Varietäten, also die Nullstellen-Gebilde von Polynomen. Zum anderen sind es gewisse geometrische Objekte, die als Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden." Mannigfaltigkeiten sind spezielle topologische Räume, die glatt sind und in jeder Dimension betrachtet werden können - analog zur zwei-dimensionalen Kugeloberfläche.

In der Sprache der Mathematik lassen sich das Hirzebruchsche Problem und seine Lösung so beschreiben: Fraglich ist, welche Chernschen Zahlen topologische Invarianten von komplex-algebraischen Varietäten sind. "Ich habe nun bewiesen, dass - von den offensichtlichen abgesehen - überhaupt keine Chernschen Zahlen topologisch invariant sind", berichtet Kotschick. "Diese Zahlen hängen damit tatsächlich von der algebraischen Struktur der Varietäten ab und sind nicht durch gröbere, sogenannte topologische Eigenschaften festgelegt. Anders gesagt: Die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit einer algebraischen Varietät bestimmt diese Invarianten nicht."

Die Lösung des Hirzebruchschen Problems wird in der aktuellen Ausgabe der Fachzeitschrift PNAS angekündigt. Begleitet wird dies von einigen anderen Ausführungen, die mit der Lösung des Problems zusammenhängen und sich aus Kotschicks Arbeit daran ergeben haben. Die vollen Beweise der Sätze über dieses Problem werden erst später in einer Fachzeitschrift für Mathematik erscheinen. (suwe)

Publikation:
"Characteristic numbers of algebraic varieties"
Dieter Kotschick
"Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS)" online, 09. Juni 2009

Ansprechpartner:
Professor Dieter Kotschick, D.Phil.
Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik der LMU
Tel.: 089 / 2180 - 4444
E-Mail: dieter@mathematik.uni-muenchen.de

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