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Wissenschaftler der Uni Paderborn löst die 150 Jahre alte Catalans Vermutung

13.06.2002 - (idw) Universität Paderborn

Für Mathematiker und Zahlentheoretiker in aller Welt ist es fast wie ein kleines Wunder, wenn sich in einer Welt des rasanten technischen Fortschritts manche Probleme erst nach sehr langer Zeit lösen. In diesem Fall ist es geschehen und ein Wissenschaftler der Uni Paderborn hat "Catalans Vermutung" - 150 Jahre alt - bewiesen. Der Clou: Dr. Preda Mihailescu ist als Experte für Kryptosysteme im Zeitalter der digitalen Kommunikation in einer Schlüsseltechnologie tätig.

Kontakt: Prof. Dr. Joachim von zur Gathen, Tel.: 05251-60-2654, Fax: -60-3516, gathen@uni-paderborn.de. Ein Porträt des französischen Mathematikers Eugene Charles Catalan (1814-1894) finden Sie im Internet unter: www-math.uni-paderborn.de/~aggathen/.


Im Jahre 1844 hat der französische Mathematiker Eugene Charles Catalan (1814-1894) im angesehenen "Journal für die Reine und Angewandte Mathematik" die Behauptung aufgestellt, dass es keine Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft gebe. Das Problem kommt ursprünglich aus der pythagoräischen Musiktheorie, bei der die angenehmen Töne durch kleine Zahlenverhältnisse beschrieben werden.

Dr. Preda Mihailescu von der Universität Paderborn hat jetzt Catalans Vermutung bewiesen. Dieser Erfolg basiert auf zahlreichen Vorarbeiten von ihm selbst und zahlreichen anderen Zahlentheoretikern aus aller Welt. Nachdem die 350 Jahre alte Fermatsche Vermutung 1995 von Andrew Wiles (mit Richard Taylor) bewiesen wurde, ist damit jetzt ein weiteres "klassisches Problem" der Mathematik gelöst.

Dr. Mihailescu stammt aus Rumänien, hat an der ETH Zürich promoviert und ist seit Oktober 2000 wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Joachim von zur Gathen am Fachbereich Mathematik, Informatik der Universität Paderborn.

Mihailescu beschäftigt sich nicht nur mit schwierigen zahlentheoretischen Problemen, sondern auch mit konkreten Anwendungen. So war er mehrere Jahre am industriellen Entwurf von sicheren Zugangssystemen für Gebäude beteiligt, die auf Fingerabdrücken beruhen. Er arbeitet zur Zeit in seiner Arbeitsgruppe an besonders effizienten Varianten von Kryptosystemen zur sicheren Datenübertragung. Für das Zeitalter der digitalen Kommunikation ist dies eine Schlüsseltechnologie, bei der raffinierte mathematische Methoden zum Einsatz kommen.

Catalans Vermutung ist folgende: Die beiden so genannten Potenzen 8 = 2.2.2 = 2^3 ("2 hoch 3") und 9 = 3.3 = 3^2 unterscheiden sich um genau 1. Die jetzt frisch bewiesene Vermutung besagt, dass es keine anderen solchen Zahlen gibt (also ganze Zahlen x, y, m, n, alle mindestens 2, mit x^m - y^n = 1).

Wenn auch niemand ernsthaft die Richtigkeit bezweifelt hat, so war doch die gesammelte Anstrengung zahlreicher Mathematiker über anderthalb Jahrhunderte notwendig, um lückenlos nachzuweisen, dass dies tatsächlich so ist.
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