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Integrale für Anlageberater

03.07.1998 - (idw) Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

Künftige Verläufe von Zinssätzen kann niemand sicher wissen, doch abschätzen lassen sich solche Entwicklungen immerhin mit der Zuverlässigkeit, die für Finanzgeschäfte gebraucht wird. Ein Team um Prof. Dr. Erich Novak am Mathematischen Institut der Universität Erlangen-Nürnberg hat ein Verfahren erarbeitet, das den speziell im Bankenwesen erwünschten "Blick auf die Zukunft" auf eine schnelle und verläßliche Weise ermöglichen soll. Dabei wird Rechenzeit dadurch eingespart, daß keine zufallsbedingten, sondern vorstrukturierte Verlaufskurven als Berechnungsgrundlage dienen. Diese neue Methode muß nun ihre Bewährungsprobe bestehen. Mitarbeiter an dem Projekt "Berechnung hochdimensionaler Integrale aus dem Finanzwesen", für das die DFG eine Sachbeihilfe zur Bezahlung eines wissenschaftlichen Mitarbeiters für zwei Jahre genehmigt hat, ist Achim Steinbauer.

Vorarbeiten zur hochdimensionalen numerischen Integration, die zunächst keinen Bezug auf die speziellen Integrale aus dem Finanzwesen hatten, gibt es seit längerer Zeit. Einen wesentlichen Einschnitt und Neuanfang markiert eine Arbeit, die im Jahr 1996 in der "Numerischen Mathematik" erschienen ist. In dieser Arbeit berichteten Erich Novak und Klaus Ritter über ein neues Verfahren zur Berechnung hochdimensionaler "Flächeninhalte". Dieses Rechenverfahren benützt eine Kombinationstechnik und dünne Gitter, um mit möglichst wenigen Funktionswerten auskommen zu können. Ähnliche Ideen werden auch zur Lösung von Differentialgleichungen benützt, insbesondere von Prof. Griebel in Bonn und Prof. Zenger in München.

Das Gebiet des "computational economics and finance" hat in den letzten Jahren einen extremen Aufschwung erfahren. Ein Indiz ist der Nobelpreis für Ökonomie (1997), der an R. Merton (Harvard) und M. Scholes (Stanford) für ihre (zusammen mit F. Black entwickelte) Theorie der Optionspreise verliehen wurde.

Allgemein geht es in diesem Bereich um die Preisbestimmung (Bewertung) von bestimmten Anlagen, sog. Derivaten, deren Wert von der künftigen Entwicklung einer bestimmten Finanzgröße (z.B. Aktien- oder Devisenkurs, Zinssatz) abhängt.
Bei der Bewertung von Zinsderivaten benützt man stochastische, d. h. auf Wahrscheinlichkeiten beruhende Modelle für die (unbekannte) Entwicklung des zukünftigen Zinssatzes. Der gegenwärtige Wert eines solchen Derivates ergibt sich dann als Erwartungswert, d.h. als Durchschnittswert über alle möglichen Entwicklungen des Zinssatzes. Diesen Erwartungswert kann man als hochdimensionales Integral schreiben. Die Dimension beträgt in typischen Fällen 360. Ein solcher Fall ergibt sich bei einer Laufzeit von 30 Jahren zu je 12 Monaten durch Verwendung eines eigenen Zinssatzes für jeden Monat.


Tagelange Rechenarbeit

Hochdimensionale Integrale wurden bisher fast immer mit Monte-Carlo-Methoden berechnet, die recht zuverlässig sind, aber nur sehr langsam dem Grenzwert zustreben. Man würfelt dabei zufällige Zinsverläufe aus und berechnet jeweils den sich ergebenden Wert der Anlage. Der Mittelwert über eine große, aber begrenzte Zahl möglicher Zinsverläufe wird als Näherung für den gesuchten Mittelwert über alle möglichen, d. h. eine prinzipiell unendliche Zahl von Zinsverläufen verwendet.

Diese Methoden sind extrem rechenaufwendig. Auch schnelle Rechner benötigen eventuell mehrere Stunden oder sogar Tage, um ausreichend genaue Näherungen zu berechnen. Banken müssen den ungefähren Wert sehr vieler Derivate in kurzer Zeit bestimmen und sind deshalb an schnelleren Rechenverfahren interessiert.


Vorstrukturierte Verläufe

Der neue Ansatz beruht auf polynomialer Interpolation. Die zugrundeliegende Idee dabei ist, daß bei vielen Derivaten kleine Veränderungen des angenommenen Zinsverlaufes auch nur zu kleinen Änderungen des Derivatwertes führen. Derivate mit dieser Eigenschaft ergeben "glatte" Integranden. Statt für viele zufällig gewählte Zinsverläufe berechnet man den Wert solcher Derivate nur für relativ wenige vorgegebene (deterministische) Zinsverläufe - im einfachsten Fall für gleichbleibenden, deutlich steigenden und deutlich fallenden Zinssatz. Die Theorie gibt nun genau an, welche charakteristischen Zinsverläufe durchzurechnen sind. Stichworte sind "dünne Gitter" und "Boole'sche Methoden". Theoretische Ergebnisse und numerische Tests zeigen, daß die neue Methode weit überlegen ist, falls der betrachtete Integrand genügend glatt ist.

Untersucht werden soll nun, inwieweit der neue Ansatz zur Berechnung typischer Integrale aus dem Finanzwesen geeignet ist und die vorhandenen Verfahren an Geschwindigkeit übertrifft. Beim Erlanger Projekt soll es nicht um die Modellbildung selbst gehen, sondern um die sich anschließende numerische Berechnung. Die Bewertung (pricing) von Finanzderivaten stellt ein breites Anwendungsfeld der hochdimensionalen numerischen Integration dar.

"Computational economics and finance" ist ein aktueller Forschungsgegenstand der Angewandten Mathematik, der in enger Beziehung zur Stochastik, Numerik und Zahlentheorie steht. Eine Ausbildung in diesem Bereich eröffnet angehenden Diplom-Mathematikern gute Berufschancen in der Finanzwirtschaft. Der Einsatz von neuartigen Methoden im Finanzbereich hat bereits zu schnelleren Algorithmen geführt. Darüber wurde sogar in populären Veröffentlichungen berichtet, etwa in "What's Happening in the Mathematical Sciences 1995-1996" der American Mathematical Society. Hier sollte man insbesondere die Arbeiten der New Yorker Gruppe um die Professoren Traub und Wozniakowski (Columbia University) nennen.

Zwischen dieser Gruppe in New York und Erlangen besteht ein reger Gedankenaustausch. Es gibt auch gemeinsame Arbeiten, die allerdings nicht direkt mit dem jetzigen DFG-Projekt zusammenhängen. Als Heisenberg-Stipendiat der DFG befindet sich Prof. Novak häufig zu Forschungsaufenthalten in den USA, insbesondere an der Columbia University. Auf dem Gebiet der Berechnung hochdimensionaler Integrale aus dem Finanzwesen ist die Zusammenarbeit mit PD Dr. Klaus Ritter, der jetzt an der Universität Passau lehrt, besonders eng.

* Kontakt:

Prof. Dr. Erich Novak, Mathematisches Institut, Bismarckstraße 1 1/2, 91054 Erlangen,
Tel. 09131/85 -2949, Fax: 09131/85 -2684, E-mail: novak@mi.uni-erlangen.de,
Internet: http://www.mi.uni-erlangen.de/~novak
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