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Weihnachtswichteln: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der Selbstbeschenkung beim Wichteln?

06.12.2004 - (idw) Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Wichteln erfreut sich bei Weihnachtsfeiern zunehmender Beliebtheit. Doch wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem anonymen Verschenken von
Kleinigkeiten jemand sein eigenes Geschenk zieht? Die Stimmung und das Betriebsklima können auf den Gefrierpunkt sinken, wenn ein Teilnehmer beim "Schrott-Wichteln" sein eigenes Geschenk zieht, von dem er gehofft hat, es endlich los zu werden. Besonders peinlich kann es werden, wenn alle Gäste sehen, mit welchen Scheußlichkeiten oder Einfallslosigkeiten man die Teilnehmer beschenken möchte.

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sein eigenes Geschenk wieder mit nach Hause trägt? Verringert sich die Wahrscheinlichkeit, je größer die Gruppe ist?

Bei der Vorbereitung der Weihnachtsfeier des Instituts für Physikalische und Technische Chemie der Technischen Universität Braunschweig kam die Frage der Wahrscheinlichkeit einer Selbstbeschenkung auf. Nachdem nach langem Grübeln niemand in der Lage war, eine exakte Lösung für das Problem zu formulieren, hat sich ein Mitarbeiter des Instituts, Dr. Stephan Kipp, eingehend mit dieser mathematischen Fragestellung befasst.

Wer hätte gedacht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Teilnehmer sein eigenes Geschenk zieht, sich ab fünf Teilnehmern praktisch nicht mehr ändert und bei knapp über 63 Prozent liegt? Wie kann man die Wahrscheinlichkeit der unerwünschten Selbstbeschenkung verringern?

Eine Alternative könnte sein, eine zweite Tauschrunde einzuführen. In der gleichen Reihenfolge wie zuvor muss jeder Teilnehmer mit einem beliebigen Mitspieler, der nach ihm an der Reihe ist, sein Geschenk tauschen. Er darf selbstverständlich nicht sein eigenes Geschenk auswählen. Allerdings kann es trotzdem passieren, und zwar, wenn beim letzten Tausch nur noch das eigene Mitbringsel übrig ist. Wer allerdings glaubt, dass durch die Tauschrunde nicht nur ein zusätzliches Spannungsmoment eingeführt und die mathematische Komplexität erhöht wird, sondern auch die Wahrscheinlichkeit der Selbstbeschenkung auf nahezu null minimiert wird, der irrt. Als Näherungslösung für eine sehr komplizierte mathematische Formel ergibt sich:

Wahrscheinlichkeit = 1/(Teilnehmerzahl+1) + 1/(Teilnehmerzahl+2)

Die Wahrscheinlichkeit der Selbstbeschenkung sinkt zwar mit steigender Teilnehmerzahl, aber berechnet man das Ergebnis beispielsweise für 19 Teilnehmer, so erhält man immer noch einen Wert von etwa zehn Prozent.

Die größte Wahrscheinlichkeit die Selbstbeschenkung zu vermeiden, errechnete der Chemiker Kipp, erhält man, wenn das Ziehen der Geschenke vor den anderen Teilnehmern verborgen wird, um so beim Griff des eigenen Mitbringsel noch einmal tauschen zu können. Bei dieser Variante kann nur noch der letzte Mitspieler sein eigenes Geschenk ziehen. Auch hier geht die Teilnehmerzahl linear in das Ergebnis ein. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich sehr gut durch den Ausdruck 1/(Teilnehmerzahl+1) annähern; auch hier ist das exakte Ergebnis weitaus komplizierter. Bei einer "Wichtel-Gruppe" von 19 Teilnehmern beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/20, also lediglich fünf Prozent.

Ansprechpartner:
Dr. Stephan Kipp, Institut für Physikalische und Technische Chemie
Tel.: 0531/391-5395, E-Mail: s.kipp@tu-braunschweig.de

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