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Numerik, Zahlentheorie, Lina II


Mathematik | Numerik, Zahlentheorie, Lina II | Druckansicht03.06.2005
Art der Hochschule: Universität
Prüfungsort: Hannover
Studienfach: Mathematik
Art der Prüfung: 1. Staatsexamen
Prüfer: Herrmann, Sander
Prüfungsfach: Numerik, Zahlentheorie, Lina II
Dauer der Prüfung: 50-60 Minuten
Note: 1;
Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen? Ja.
Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen? Ja.

  • Prüfungsablauf
  • Tipps
Prüfungsfragen
- Häufig in die Sprechstunden gehen, dann wird klar, was wirklich wichtig ist, außerdem sehen die Profs, dass man sich echt Mühe gibt.
- Nicht nur Def., Sätze,... auswendig lernen! Ist zwar nach O-Ton Herrmann am wichtigsten, aber gerade er fragt dann gerne kleine Beweise ab, die nicht direkt was mit dem Thema zu tun haben.
- Herrmann-Buch besorgen!
- In Zahlentheorie ist ziemlich schnell klar, was abgefragt werden kann und was fürs Lehramt einfach unnötig ist. [Frage an Sander: „Können Sie noch mal die 2. Möbius-Umkehrung erklären?“ Sander: „Die können Sie vergessen!“ ] [O-Ton Sander: „Was kann ich schon aus dem Abschnitt Primzahlverteilung schon fragen. Ich bin schon zufrieden, wenn Sie mir den Primzahlsatz und Tschebyscheff aufschreiben können.“]
- In Numerik darf man sich ein Thema aus der Numerik II aussuchen, dass dann auch garantiert dran kommt. Am einfachsten ist da wohl die Eigenwerttheorie, die passt auch dann zum Abschnitt Lineare Algebra.
- In Lina II hat Prof. Sander das Thema netterweise auf einen Schwerpunkt eingeschränkt.
- Bei Hängern versuchten alle drei immer wieder zu helfen.
- Prof. Sander war sehr flexibel und es machte nicht mal was, dass ich den kleinen Fermat nicht beweisen konnte, er ging einfach über zum nächsten Thema!
Fragen

Numerik

 Mit welchem Teilbereich wollen wir anfangen?
 Was ist ein LGS?
o Schreiben Sie das mal auf.
o Wann ist es lösbar?
o Schreiben Sie eine Lösung auf.
o Wie kann man ein LGS lösen? Denken Sie dabei an sehr große Matrizen, wie sie Ingenieure meistens vorfinden. [LR-Zerlegung, QR-Zerlegung, Gaußscher Algorithmus]
o Ja, aber welche Verfahren benötigen weniger Speicherkapazität? [Iterative Verfahren]
o Erklären Sie eines der beiden Verfahren GSV oder ESV?
o Schreiben Sie das GSV in Matrizenschreibweise auf.
o Was ist das? [Fixpunktaufgabe, wenn man noch D rüberbringt.]
o Wie löst man diese Aufgabe jetzt? [Startvektor einsetzen]
o Geht das Verfahren eigentlich immer gut? Denken Sie zum Beispiel an den Banachschen Fixpunktsatz. [muss kontrahieren]
o Was heißt kontrahieren geometrisch? [Abstand zweier Punkte wird durch Abbildung kleiner]
o Wann konvergiert das GSV?
 Wir kommen zur Eigenvektortheorie.
o Was ist ein Eigenwert?
o Wie berechnet man sie normalerweise? [Erklären, warum Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnet werden müssen]
o Warum ist die Berechnung schwierig? [Determinante]
o Was macht man stattdessen? [ähnliche Matrix finden]
o Erklären Sie irgendein Verfahren. [QR-Verfahren].
o Warum kann man einfach berechnen? [Ist eine Ähnlichkeitstransformation].
o Wie kann man das Verfahren verbessern? [Shift]
o Welche Möglichkeiten gibt es da? [Rayleigh, Wilkinson]
Zahlentheorie

 Mit welchem Thema wollen Sie anfangen? [Zahlentheoretische Funktionen]
o Was ist eine zahlentheoretische Funktion [reelle oder komplexe Folge]
o Wann ist sie multiplikativ?
o Nennen Sie ein Beispiel [Eulersche Phi-Funktion]
o Wie ist φ(n) definiert?
o Ist φ(n) multiplikativ?
o Ist das einfach zu zeigen?
o Wozu braucht man φ(n) noch? [Kleiner Satz von Fermat]
o Erklären Sie den Satz.
o Können Sie den Satz beweisen? [Nein]
o Gut, dann nennen Sie mal eine weitere zahlentheoretische Funktion. [Möbius]
o Wie ist μ(n) definiert?
o Wozu braucht man sie? [1. Möbius-Umkehrung]
o Kennen Sie noch weitere zahlentheoretische Funktionen? [τ(n), σ(n)]
 Wie findet man raus, ob zwei Zahlen teilerfremd sind?
 Erklären Sie den Euklidischen Algorithmus. [Aufschreiben]
o Macht man das eigentlich noch in der Schule?
Einwurf Herrmann: Nein, leider nicht. Die machen nur die Primfaktorzerlegung, um dann damit auch den kgV zu bestimmen. Geht das nicht auch anders?
[Ja, mit Hilfe des ggT: ]
o Wo sieht man denn da den ggT? [letzter von Null verschiedener Rest]
o Wozu kann man den E.A. noch verwenden? [ggT als Linearkombination darstellen → diophantische Gleichungen lösen, Kettenbruchentwicklung]
 Schreiben Sie mal einen Kettenbruch auf.
o Wozu braucht man die Kettenbruchentwicklung? [Näherungsbrüche von rationalen Zahlen mit sehr großem Zähler und Nenner]
o Was passiert, wenn ich zum Beispiel das weglasse? [Dann habe ich einen Näherungsbruch von ]
 Wir haben bereits über diophantische Gleichungen gesprochen.
o Wann sind sie lösbar?
o Welche diophantische Gleichung höheren Grades kennen Sie? [Pell´sche Gleichung]
o Schreiben Sie die Pell´sche Gleichung mal auf. [Gleich sagen, dass D keine Quadratzahl sein darf]
o Wie viele Lösungen hat sie? [unendlich viele + triviale Lösung nennen]
o Was ist die kleinste Lösung?
o Wie sieht die Pell´sche Gleichung graphisch aus? [Hyperbel]
o Zeichnen Sie sie mal auf.
o Wie kriegt man jetzt alle Lösungen? [Potenz der Grundeinheit]
o Was ist die Grundeinheit? [Gehört zur Grundlösung]
o Wie kriegt man die Grundlösung? [Näherungsbruch von ]
o Warum? Schreiben Sie mal die 2. Potenz auf und lösen Sie die Binomische Formel auf. [Binomische Formel auflösen und so sortieren, dass im letzen Summanden steht]


Lineare Algebra II

 Welches Thema hatten wir abgesprochen? [Jordansche Normalform]
 Was ist ein Eigenwert geometrisch?
 Wozu braucht man ihn eigentlich? [Man sucht eine Basis bezüglich der die Matrix A eine möglichst einfach Form hat]
 Was wäre denn eine einfache Form?
 Kriegt man immer eine Diagonalmatrix? [Nein, aber eine andere einfache Form ist die JNF]
 Wann ist denn ein Endomorphismus diagonalisierbar? [algebraische = geometrische Vielfachheit]
 Was wenn die Vielfachheit nicht übereinstimmt?
 Wie kriegt man weitere Eigenvektoren? [quadrieren, dann bekommt man mehr Möglichkeiten]
 Schreiben Sie mal eine JNF auf.
 Was steht auf der Hauptdiagonalen? [Eigenwerte, algebraische Vielfachheit beachten]
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