Poincaré-Vermutung

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Die Poincaré Vermutung wird von vielen als das bedeutendste Problem in der Topologie gehalten. Sie ist benannt nach Henri Poincaré und wurde von diesem 1904 formuliert. Im Jahr 2000 listete das Clay Mathematics Institute die Vermutung unter den 7 bedeutendsten ungelösten mathematischen auf und verspricht für die Lösung einen von 1 Mio. Dollar.

Die Poincaré Vermutung besagt:

Jede n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für n=2 ist die Aussage bewiesen für jedes n > 3. Lediglich für den Spezialfall n=3 fehlt noch Beweis.

Vereinfacht kann man die Poincaré Vermutung beschreiben:

Die Oberfläche einer Kugel ist 2-dimensional beschränkt und jede geschlossene Kurve lässt sich auf Punkt zusammenziehen welcher auch auf der Kugel Sie ist auch das einzige 2-dimensionale Gebilde diesen Eigenschaften. Auf einem Torus (etwa einem beispielsweise funktioniert das Zusammenziehen nicht immer denn handelt es sich um eine 2-dimensionale Oberfläche einem 3-dimensionalen Körper. Bei der Poincaré-Vermutung geht um das 3-dimensionale Analogon: hier geht es eine 3-dimensionale "Oberfläche" auf einem 4-dimensionalen Körper.

Viele Mathematiker haben Beweise vorgelegt die dann aber als falsch erwiesen. Dennoch haben dieser fehlerhaften Beweise das Verständnis der niedrig-dimensionalen erweitert.

Ende des Jahre 2002 tauchten Meldungen der russische Mathematiker Grigori Perelman vom Steklov Institute St.Petersburg habe die Vermutung bewiesen. Derzeit dieser Beweis von Mathematikern überprüft.

siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik

Bücher zum Thema Poincaré-Vermutung

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