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Allgemeine bernoullische Ungleichung
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Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 23:49:52    Titel:

danke,aber das darf ich nicht bentzen. Das hatten wir noch nicht Sad
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:09:29    Titel:

Habe mich nun zum Beweisen für das arithmetisch-geometrischen Mittel
entschieden, weil man jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann.

Anwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels
für p,q € IN mit p<q, so dass p/q < 1 und q/p > 1 :

(A) z>=-1 und p<q : (1+z)^(p/q) = ((1+z)^p*1^(q-p))^(1/q) <= (p*(1+z) + (q-p)*1)/q = 1 + (p/q)*z
da unter der Wurzel q Faktoren stehen, so dass sich die Ungleichung
für die Mittelwerte anwenden läßt.

(B) x:=(p/q)*z --> (1+(q/p)*x)^(p/q) <= 1+x |^q/p --> (1+x)^(q/p) >= 1 + (q/p)*x


Zuletzt bearbeitet von Winni am 13 Dez 2006 - 00:14:37, insgesamt einmal bearbeitet
Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:10:53    Titel:

Und was habe ich nun genau damit gezeigt?das verstehe ich irgendwie nicht!
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:17:02    Titel:

Dass (1+x)^(q/p) >= 1 + (q/p)*x mit q/p > 1 und damit auch (1+x)^a >= 1 + a*x ,
weil sich a durch p/q beliebig genau annähern läßt.
Und da sich alle in der Ungleichung vorkommenden
Ausdrücke stetig ändern, bleibt die Ungleichung auch für
reelle Zahlen richtig.
So ist die Argumentationsweise in der Analysis.
Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:21:09    Titel:

ich habe da nochmal ein paar fragen weil ich nicht weiß ob du dich da vertippt hast.
also zu (A): ((1+z)^p*1^(q-p))^(1/q) ist das so richtig? dreimal hintereinander etwas hochnehmen?

und " da unter der Wurzel q Faktoren stehen" wo habe ich denn hier eine wurzel?die find ich da nicht.


und zu (B): 1+x |^q/p wieso ist da |???das verstehe ich nicht. kannst du mir das vielleicht erklären?
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:32:12    Titel:

Nochmal zur 'Binomischen Reihe' (und die wird wohl erlaubt sein):

Habs nachgelesen, die Binomische Reihe (1+x)^a gilt, wenn der Betrag x < 1 ist und a eine "beliebige reelle Zahl ist" (Zitat Rothe: Höhere Mathematik).

(1+x)^a = 1 + (a über 1)*x + (a über 2)*x² ...

wobei die (a über b) formal genau so berechnet werden wie bei ganzen Zahlen.

Vielleicht hilfts ja doch weiter?
Berichtest Du uns, wie der Beweis des Professors aussieht?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:40:11    Titel:

Mit Wurzel ist die q-te Wurzel gemeint, also hoch 1/q [hier: ^(1/q)].
(a^b*c^d)^(1/e) = a^(b/e)*c^(d/e)
{Ohne Dir zu nahe treten zu wollen: Das Potenzieren musst Du beherrschen !}

Zu (B): (1+(q/p)*x)^(p/q) <= 1+x |^q/p
|^q/p bedeutet, dass die Ungleichung beidseitig mit q/p potenziert wird.
Klarer wäre es, |^(q/p) zu schreiben.
Das mit dem | ist eine allgemeine Gepflogenheit.
Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2006 - 00:47:13    Titel:

axo, ich habe da eine klammer vergessen. ich danke dir vielmals
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