Quotientenräume

Physikus · Verfasst am: 26 Nov 2004 - 17:44:51 Titel: Quotientenräume

So, nun hab ich mal eine Frage. Mr. Green

Und zwar kam bei uns in der Funktionalanalysisvorlesung öfters der Begriff "Quotientenraum" vor, vor allem in Zusammenhang mit den L_p-Räumen. Leider verstehe ich diesen Begriff nicht wirklich und in der "Höhere Mathematik"-Vorlesung im Gruntstudium kam der nie vor. Ich kenn zwar die formale Definition eines Quotientenraums, mir fehlt aber irgendwie das Verständnis dafür. Sad

Kann mir jemand einfach und anschaulich erklären, wie man aus einem Raum und einem Unterraum den Quotientenraum bildet und wie der dann aussieht? Am besten mit einfachen, aber instruktiven Beispielen, denn mit allgemeinen Definitionen und Sätzen dazu komm ich nicht weiter. Lineare Algebra war nie mein Spezialgebiet...

algebrafreak · Verfasst am: 26 Nov 2004 - 21:13:25 Titel:

Quotientenraum ist ja was relativ abstraktes, aber auch einfaches. Angenommen Du hast eine Äquivalenzrelation \sim auf einer Menge A. Dann sind die Äquivalenzklassen von \sim die Elemente vom Quotientenraum A/\sim. Das hat I.A. nichts mit linearer Algebra zu tun. Bsp: Für einen topologischen Raum (R,O) und eine Äq. Rel. \sim auf R. bezeichnet z.B. die induziert die (stetige) kanonische Projektion pi(x) -> R/\sim eine quotienten-Topoligie mit offenen Mengen, deren Urbilder bzg. pi(x) in R offen sind.

So, jetzt ganz konkret auf lineare Algebra bezogen. Jeder Unter-VR U von V induziert eine Äquivalenzrelation \sim_U mit

a \sim_U b genau dann, wenn a - b \in U.

Die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. \sim_U heisst ist dann dein Q-Raum. Aus a in U und b in U folgt ja a+b in U. Die einfachste Art sich sowas vorzustellen, ist auf der Ebene. Da ist jeder UVR eine Ursprungsgerade und jedes element des Q-Raums davon eine dazu parallele Gerade.

Physikus · Verfasst am: 27 Nov 2004 - 11:21:18 Titel:

Hmm, wirklich klarer wird es mir dadurch auch noch nicht... Confused

Blöderweise sind auch nahezu alle LinA-Bücher im Moment entliehen (klar, die Erstsemester) und das, was noch übrig war, erklärt nur den Begriff "Quotientenkörper", aber auch so, dass ich nix verstehe. Ich hab auch Schwierigkeiten mit dem Begriff "Äquivalenzklasse", der hier auftaucht; ich weiß, was eine Äquivalenzrelation ist, aber eine Äquivalenzklasse? Ist das die Menge aller Äquivalenzrelationen? (was ich auch höchst unanschaulich fände)
Hätte wohl im Grundstudium statt die Physiker-Nebenfachvorlesungen zu hören doch besser ein Mathevordiplom machen sollen... Mad

algebrafreak · Verfasst am: 27 Nov 2004 - 16:50:07 Titel:

Sei A eine nicht leere Menge. Dan induziert jede Partition von A in nichtleere Mengen (das ist nur technisch bedingt, damit man auswählen kann und alles eindeutig ist) eine Äquivalenzrelation auf A. Und umgekehrt induziert jede Äquivalenzrelation auf A eine Partition von A. Die Menge der Partitionselemente ist genau die Menge der Äquivalenzklassen und somit die Menge der Elemente des zugehörigen Quotientenraumes.

Z.B. A = {1,2,3} Dann induziert die Partition von A P(A) = {{1},{2},{3}} eine Äquivalenzrelation, mit a \sim b genau dann, wenn a gleich b. Bezeichnet man mit A_1 = {1}, A_2 = {2} und A_3 = {3} die Menge der Elemente der Partition so ist

P(A) = {A_1,A_2,A_3} der Quotientenraum A/\sim.

Stell nur ruhig Fragen Smile

P.S. Da oben hat sich was verwustelt. Natürlich Nimmt man einen topo-Raum (R,O) und die kanonische Projektion p(x) : (R,0) -> (R/\sim,O') mit obigen offenen Mengen.