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Kreisgleichungen gesucht
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felix-meier
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Anmeldungsdatum: 01.12.2004
Beiträge: 5
Wohnort: Parey bei Magdeburg

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 18:23:50    Titel: Kreisgleichungen gesucht

Hallo Mathe-Freaks!

Ich soll zu morgen eine Aufgabe aus dem Mathebuch lösen, weiß aber nicht so richtig, wie ich vorgehen soll. Die Aufgabe lautet:

Gesucht werden die Gleichungen der Kreise mit dem Radius 5, die durch den Ursprung und den Punkt P (4|2) gehen.

Ich weiß mittlerweile durch eine Zeichnung des Sachverhalts, dass es genau 2 Kreise gibt, die die Anforderungen erfüllen. Aber wie stelle ich die Gleichungen dazu auf? Ich kann ja nicht einfach die Mittelpunkte ablesen und damit die Gleichung schreiben!?!? Confused


Vielen Dank im Voraus für die - hoffentlich Idea kommenden - Antworten...
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 19:25:51    Titel:

Hi,
du kannst die beiden Mittelpunkte mit M_1 und M_2 benennen, Ihr Abstand zu O(0|0) und P(4|2) ist jeweils 5.
Dann gilt:
sqrt[(x_1 - xo_1)² + (y_1 - yo_1)²]=5 ==> sqrt[(x_1 - 0)² + (y_1 - 0)²]=5

sqrt[(x_1 - xp_1)² + (y_1 - yp_1)²]=5 ==> sqrt[(x_1 - 4)² + (y_1 - 2)²]=5

dies quadrierst du aus und bestimmst die Lösungen für x und y,
die gesuchten Mittelpunkte sind dann: M_1=(0|+5) und M_2=(4|-3)

Diese beiden Punkte setzt du jeweils in die allgemeine Kreisgleichung ein.

Tschüss dann!
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 19:31:18    Titel:

Du kennst 2 Punkte des Kreises.
- Sobald man 2 Punkte eines Kreises kennt, muss man sofort eine Besonderheit am Kreis anwenden und zwar folgende:

Die Mittelsenkrechte 2-er PUnkte des Kreises geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises.
Das heißt, irgendwo auf der Mittelhalbierenden liegt der Mittelpunkt deines gesuchten Kreises (bzw. deiner 2 gesuchten Kreise).

Also stellst du als allererstes mal die Gleichung der Mittelsenkrechten auf:
Dafür brauchst du einen Punkt ( und das ist der Mittelpunkt der Strecke OP) und den Normalvektor der Mittelsenkrechten ( und das ist der Vektor OP). DAnn setzt in die Normalvektorform der Geradengleichung ein:

Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt

Nun weißt du, dass der Mittelpunkt vom Punkt P oder vom Ursprung 5 cm entfernt sein muss.

Also stellst du dir einen Kreis auf, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist oder der Punkt P und der den Radius 5 hat. Und nun schneidest du diesen Kreis mit der Mittelsenkrechten und dann kriegst deine 2 Mittelpunkte von den beiden gesuchten Kreisen heraus.

Kleiner Tipp:
Der Lösungsweg bei Kreisberechnungen ist haarscharf genau der Lösungsweg der ZEichenkonstruktion. - Wie man den Kreis konstruiert, genauso berechnet man das dann auch....

lg katja
felix-meier
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Anmeldungsdatum: 01.12.2004
Beiträge: 5
Wohnort: Parey bei Magdeburg

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 20:21:06    Titel:

@gast

das mit der mittelsenkrechte ist eine sehr gute idee. danke für den tipp, aber leider weiß ich nicht, wie man diese berechnet bzw. blicke ich durch deine anleitung nicht wirklich durch Shocked Rolling Eyes

@aldebaran
die benennung mit m1 und m2 für die mittelpunkte hab ich schon vorher gehabt.

sqrt[(x-0)²+(y-0)²] = 5
sqrt[(x-4)²+(y-2)²] = 5

diese beiden gleichungen habe ich versucht, auszuquadrieren, wie du es gesagt hast. bei der zweiten komme ich dann auf folgenden weg:

sqrt[(x-4)²+(y-2)²] = 5 |²

(x-4)²+(y-2)² = 25

x²-8x+16+y²-4y+4 = 25

x²-8x+y²-4y = 5

und wie weiter? ich steh irgendwie auf´m schlauch... Confused

oder ist mein weg falsch?
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 20:45:49    Titel:

Hi,
du must beide Gleichungen ausquadrieren:
x² + y² = 25 (I) und
x²-8x+16 + y²-4y+4 = 25 (II)

aus (I) folgt: y = sqrt(25-x²)

eingesetzt in (II): x²-8x+16 + [sqrt(25-x²)]²-4[sqrt(25-x²)]+4 = 25 (II)

diese letzte Gleichung kannst du auflösen: es ergibt x_01 = 0 und x_02 = 4 !!

@Katja
die von dir beschriebene Lösung mit Vektoren ist ebenfalls gut möglich, dabei würde ich die Gleichung der Mittelsenkrechten erstellen und auf der Geraden diejenigen beiden Punkte suchen, deren Ortsvektor den Betrag = 5 hat;
es sei x = p + r*u die Gleichung der Geraden (= Mittelsenkrechten), dann ist 25 = (p_1+r*u_1)² + (p_2+r*u_2)² + (p_3+r*u_3)² ; darin sucht man dann die Lösungen für u!

Tschüss dann !
felix-meier
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Anmeldungsdatum: 01.12.2004
Beiträge: 5
Wohnort: Parey bei Magdeburg

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 21:13:21    Titel:

so, beide gleichungen ausquadriert und folgendes kommt raus:

für k2:

sqrt[(x-4)²+(y-2)²] = 5 |²

(x-4)²+(y-2)² = 25

x²-8x+16+y²-4y+4 = 25

für k1:

sqrt[(x-0)²+(y-0)²] = 5 |²

(x-0)²+(y-0)² = 25

x² + y² = 25

y = (sqrt[25-x²]) -> einsetzen in k2

-> x²-8x+16+(sqrt[25-x²])²-4(sqrt[25-x²])+4 = 25

x²-8x+16+25-x²-20-4x+4 = 25

-12x+25 = 25

-12x = 0

x = 0 ->einsetzen in die erste gleichung

y = 5 ????????????? Confused
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 22:24:06    Titel:

Kreis K: (x-x1)²+(y-y1)²=5²

(0-x1)²+(0-y1)²=5²
(4-x1)²+(2-y1)²=5²


(x1)²+(y1)² = (4-x1)²+(2-y1)²
(x1)²+(y1)² = 16 - 8*x1 + (x1)² + 4 - 4*y1 + (y1)²
0 = 20 - 8*x1 - 4*y1
2*x1 + y1 = 5
y1 = 5 - 2*x1

(x1)² + (0 - (5 - 2*x1))² = 5²
(x1)² + (2*x1 - 5)² = 5²


(x1)² + 4(x1)² - 20*x1 + 5² = 5²
5*(x1)² - 20*x1 = 0
x1*(x1 - 4) = 0
x11 = 0
x12 = 4

y11 = 5 - 2*0 = 5
y12 = 5 - 2*4 = -3

Zwei Mittelpunkte sind möglich: P1(0; 5) , P2(4; -3)

K1: (x-0)²+(y-5)²=5²
K2: (x-4)²+(y+3)²=5²

_____________________________________________________________________________________
felix-meier
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Anmeldungsdatum: 01.12.2004
Beiträge: 5
Wohnort: Parey bei Magdeburg

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 23:11:34    Titel:

@Gast:

DANKE Razz Razz

ich werde das morgen mal vortragen und sehen, was ich bekommen habe...

wenn es 15 punkte werden, dann gebe ich einen aus Wink

bis bald und danke nochmal...

ihr seit meine rettung! Razz
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