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Beweis: sqrt(p) ist nicht rational.
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real.messY
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Anmeldungsdatum: 11.11.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 21:21:33    Titel: Beweis: sqrt(p) ist nicht rational.

Sei p eine Primzahl. Ich möchte beweisen, dass √p nicht rational ist.

Ich dachte ich geh da über den indirekten Beweis ran und sage √p = a/b mit teilerfremden a,b.

Beh.: √p ist nicht raional.

Bew.: indirekt angenommen √p = a/b, ggT(a,b) = 1; a,b € IZ

p = (a/b)²

p*b² = a² a = q*a1, b = z*b1

p*b²*p*b1² = q²*a1²

Jetzt komme ich nicht weiter! Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg. Ich möchte irgendwie darstellen, dass √p nicht als a/b darstellbar ist. Hat jemand eine Anregung für mich?
saugnapf
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Anmeldungsdatum: 20.12.2006
Beiträge: 126

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 21:34:00    Titel:

du hast p*b² = a² , also p*b*b = a*a
Denk mal daran, dass Die Primzerlegung einer jeden Zahl eindeutig ist, vielleicht kommst du dann ja dahin, dass a und b einen gemeinsamen teiler >1 haben... oder sonst auf nen Widerspruch... (nur so ne Idee, kann auch falsch sein...)
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 21:34:50    Titel:

p*b² = a²
=> da p eine Primzahl ist, teilt a^2 diese Primzahl. => a teilt diese Primzahl => a = pa' => p*b² = p^2a'^2 <=> b^2 = pa^2 => b^2 teilt p => b teilt p => ggt(a,b) != 1 => Widersprung. q.e.d.

sD.
saugnapf
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Anmeldungsdatum: 20.12.2006
Beiträge: 126

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 21:39:44    Titel:

Nochmal kurz drüber nachgedacht : ganz egal, ob a , b ne gerade oder ungerade Zahl von Primfaktoren haben, a² bzw. b² hat in jedem Falle eine Grade Anzahl...(nämlich 2 *Anzahl Primfaktoren).Damit hat der Term auf der linken Seite, p*b² eine ungerade Anzahl von Primfaktoren, und der auf der rechten Seite eine gerade, da haben wir unseren Widerspruch.

Edit an sD : aus p*b² = a² kannst du nur folgern, dass p|a² , nicht umgekehrt... damit weißt du meiner Meinung nach auch nicht sicher, ob p|a..
Genau genommen kann a² p ja gar nicht teilen, ausser a ist 1..
real.messY
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Anmeldungsdatum: 11.11.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 22:36:31    Titel:

@ saugnapf: Ich verstehe worauf du hinaus willst, aber da 2 auch eine Primzahl ist, kann auch p*b² gerade sein.

@ sD:
Zitat:
=>da p eine Primzahl ist, teilt a^2 diese Primzahl.

Ich verstehe nicht, warum a² p teilen muss!?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 22:55:05    Titel:

real.messY hat folgendes geschrieben:

Ich verstehe nicht, warum a² p teilen muss!?


Wir nehmen an, das a^2 die gleichen Primfaktoren wie a hat, nur jedoch saemtliche im Quadrat vorkommen, dh die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung wird vorrausgesetzt. Dann ist a^2 = (p1p2p3...pn)^2, a = p1p2p3...pn. Da jeder Faktor in a^2 also mindestens quadriert vorkommt, und eines dieses p unsere Primzahl ist, kommt p also mindestens quadriert vor. Daraus leitet man ab, das a nun unser p teilt.

sD.
saugnapf
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Anmeldungsdatum: 20.12.2006
Beiträge: 126

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 23:01:34    Titel:

Es geht mir nicht darum, dass p*b² gerade sein kann... es geht mir um die Anzahl der Faktoren in der Primfaktorenzerlegung...
Denn die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist eindeutig, also müssen sowohl
p*b*b wie auch a*a die selbe Primfaktorzerlegung haben. a² hat nun eine gerade Anzahl von Faktoren, b² auch, und p*b² dann logischerweise , weil einen Primfaktor mehr, eine ungerade Anzahl von Faktoren...
Und das kann halt nicht sein ..

sD :
Dann hast du in a² irgendwo auch den Faktor p² vorkommen, aber auf der anderen Seite hast du erstmal nur ein p... sollte in der Primfaktorzerlegung von b² auch ein p vorkommen, käme es ja deiner Argumentation zu Folge auch als p² vor, und du hättest wieder ein p zuviel .. verstehst worauf ich hinauswill ?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 23:10:37    Titel:

@saugnapf: Das macht keinen Sinn so. Der Widerspruch geht darueber, das ggt(a,b) nicht 1 ist. Wenn wir zeigen, das p|a, und daher a = (pa') schreiben, erhalten wir b = pa'^2, also auch p|b.

sD.
real.messY
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Anmeldungsdatum: 11.11.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 23:22:54    Titel:

Also wenn ich den Ansatz von sD folge sieht meine Beweisführung so aus:

Beh.: √p ist nicht rational.

Bew.: indirekt angenommen √p = a/b, ggT(a,b) = 1; a,b € IZ

p = (a/b)²

p*b*b = a*a <- Durch PFZ muss p auf beiden Seiten der Glg. vorkommen.

Das heisst ggt(a,b) = p

Also ist √p = a/b, ggT(a,b) = 1 widerlegt. Jetzt weiß ich nicht warum ich auch bewiesen habe, dass √p nicht rational ist.
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2007 - 03:20:06    Titel:

Ja, das ist korrekt so. Eine irrationale Zahl, x@ |R\Q, bricht ab oder ist periodisch oder, gleichbedeutend, laesst sich nicht als Bruch schreiben.

sD.
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