Beweis: sqrt(p) ist nicht rational.

real.messY · Full Member Anmeldungsdatum: 11.11.2006 Beiträge: 127

Sei p eine Primzahl. Ich möchte beweisen, dass √p nicht rational ist.

Ich dachte ich geh da über den indirekten Beweis ran und sage √p = a/b mit teilerfremden a,b.

Beh.: √p ist nicht raional.

Bew.: indirekt angenommen √p = a/b, ggT(a,b) = 1; a,b € IZ

p = (a/b)²

p*b² = a² a = q*a1, b = z*b1

p*b²*p*b1² = q²*a1²

Jetzt komme ich nicht weiter! Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg. Ich möchte irgendwie darstellen, dass √p nicht als a/b darstellbar ist. Hat jemand eine Anregung für mich?

saugnapf · Full Member Anmeldungsdatum: 21.12.2006 Beiträge: 126

du hast p*b² = a² , also p*b*b = a*a
Denk mal daran, dass Die Primzerlegung einer jeden Zahl eindeutig ist, vielleicht kommst du dann ja dahin, dass a und b einen gemeinsamen teiler >1 haben... oder sonst auf nen Widerspruch... (nur so ne Idee, kann auch falsch sein...)

someDay · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2005 Beiträge: 3889

p*b² = a²
=> da p eine Primzahl ist, teilt a^2 diese Primzahl. => a teilt diese Primzahl => a = pa' => p*b² = p^2a'^2 <=> b^2 = pa^2 => b^2 teilt p => b teilt p => ggt(a,b) != 1 => Widersprung. q.e.d.

sD.

saugnapf · Full Member Anmeldungsdatum: 21.12.2006 Beiträge: 126

Nochmal kurz drüber nachgedacht : ganz egal, ob a , b ne gerade oder ungerade Zahl von Primfaktoren haben, a² bzw. b² hat in jedem Falle eine Grade Anzahl...(nämlich 2 *Anzahl Primfaktoren).Damit hat der Term auf der linken Seite, p*b² eine ungerade Anzahl von Primfaktoren, und der auf der rechten Seite eine gerade, da haben wir unseren Widerspruch.

Edit an sD : aus p*b² = a² kannst du nur folgern, dass p|a² , nicht umgekehrt... damit weißt du meiner Meinung nach auch nicht sicher, ob p|a..
Genau genommen kann a² p ja gar nicht teilen, ausser a ist 1..

real.messY · Full Member Anmeldungsdatum: 11.11.2006 Beiträge: 127

@ saugnapf: Ich verstehe worauf du hinaus willst, aber da 2 auch eine Primzahl ist, kann auch p*b² gerade sein.

@ sD:

someDay · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2005 Beiträge: 3889

saugnapf · Full Member Anmeldungsdatum: 21.12.2006 Beiträge: 126

Es geht mir nicht darum, dass p*b² gerade sein kann... es geht mir um die Anzahl der Faktoren in der Primfaktorenzerlegung...
Denn die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist eindeutig, also müssen sowohl
p*b*b wie auch a*a die selbe Primfaktorzerlegung haben. a² hat nun eine gerade Anzahl von Faktoren, b² auch, und p*b² dann logischerweise , weil einen Primfaktor mehr, eine ungerade Anzahl von Faktoren...
Und das kann halt nicht sein ..

sD :
Dann hast du in a² irgendwo auch den Faktor p² vorkommen, aber auf der anderen Seite hast du erstmal nur ein p... sollte in der Primfaktorzerlegung von b² auch ein p vorkommen, käme es ja deiner Argumentation zu Folge auch als p² vor, und du hättest wieder ein p zuviel .. verstehst worauf ich hinauswill ?

someDay · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2005 Beiträge: 3889

@saugnapf: Das macht keinen Sinn so. Der Widerspruch geht darueber, das ggt(a,b) nicht 1 ist. Wenn wir zeigen, das p|a, und daher a = (pa') schreiben, erhalten wir b = pa'^2, also auch p|b.

sD.

real.messY · Full Member Anmeldungsdatum: 11.11.2006 Beiträge: 127

Also wenn ich den Ansatz von sD folge sieht meine Beweisführung so aus:

Beh.: √p ist nicht rational.

Bew.: indirekt angenommen √p = a/b, ggT(a,b) = 1; a,b € IZ

p = (a/b)²

p*b*b = a*a <- Durch PFZ muss p auf beiden Seiten der Glg. vorkommen.

Das heisst ggt(a,b) = p

Also ist √p = a/b, ggT(a,b) = 1 widerlegt. Jetzt weiß ich nicht warum ich auch bewiesen habe, dass √p nicht rational ist.

someDay · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2005 Beiträge: 3889

Ja, das ist korrekt so. Eine irrationale Zahl, x@ |R\Q, bricht ab oder ist periodisch oder, gleichbedeutend, laesst sich nicht als Bruch schreiben.

sD.