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Nullstellenberechnung
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Gast







BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 19:29:48    Titel: Nullstellenberechnung

Aus irgendeinem Grunde kriege ich die Nullstellenberechnung von dieser Aufgabe

f(x)=x^3-9x

nicht hin. Ich soll das irgendwie ohne Polynomdivision rauskriegen, aber wenn ich die erste Ableitung bilde, funktioniert das mit der pq-Formel nicht mehr, und ein anderer Weg fällt mir partout nicht ein.

Könnte mir jemand von euch helfen? Wär klasse

Vielen Dank schonmal

Retal
feo
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 19:35:56    Titel:

Warum bildest du denn die erste Ableitung?

f(x) = x^3 - 9x

an einer Nullstelle ist f(x) = 0, also:

x^3 -9x = 0 | x ausklammern

x* (x^2 -9) = 0 ==> x1 = 0

Bleibt noch: x^2 - 9 = 0

x^2 - 9 = 0 | +9
x^2 = 9 | Wurzel ziehen
x2 = -3
x3 = 3
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:18:48    Titel:

Vielen Dank! Habs jetzt auch kapiert! Very Happy

Retal
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 14:57:55    Titel:

Ich war wohl etwas voreilig. Es stellt sich heraus, dass ich den Rest auch nicht hinkriege. Nach den Nullstellen soll es nämlich mit den Extremwerten weitergehen, und da hab ich Probleme.
Aufgrund der Nullstellenberechnung der ersten Ableitung kann ich dann ersehen, ob es Minima und Maxima gibt, um dann die Ergebnisse in die zweite Ableitung einsetzen zu können um die genauen Extrempunkte herauszubekommen. Soweit die Theorie.

Ich mache also die erste Ableitung von f(x)=x^3-9x

f'(x)=3x^2-9

dann muss ich das nach 0 auflösen!?

0=3x^2-9 |:3

0=x^2-3 |+3

x^2=3

Dann noch die Wurzel

x=1,73

Was sagt mir das jetzt? Habe ich jetzt mit 1,73 und -1,73 die Nullstellen der ersten Ableitung, anhand derer ich herausfinden kann, woran ich maximum-und minimummäßig bin und die ich jetzt einfach in die zweite Ableitung einsetze,

f''(x)=6x

um dann genaue Angaben über die Extremstellen machen zu können? Irgendwie kommt mir das so komisch vor! Was für angaben über lokale Extrema kann ich denn mit -1,73 und 1,73 machen? Es ist mir ziemlich schleierhaft. Über noch ein klein wenig Hilfe würde ich mich sehr, sehr freuen!!! Smile

Danke,

Retal

P.S.: Klasse Forum
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 15:18:51    Titel:

Jetzt musst du 1,73 und -1,73 in die zweite Abteilung einsetzen.
Ist das Ergebnis > 0 handelt es sich um eine Tiefstelle, ist es < 0 um eine Hochstellt.
Am Besten du zeichnest das ganze nachher immer kurz auf, daran kann man dann meist ganz gut sehen, ob es mit Hoch-, Tief- und Nullstellen hinkommt, oder ob man sich verrechnet hat.
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 15:37:02    Titel:

f(x)=x³-9x --> f(x)=x(x²-9)
f'(x)=3x²-9 --> f'(x)=3(x²-3)
f''(x)=6x
f'''(x)=6

Also bei einer Funktionsuntersuchung bestimmt man nacheinander:
Nullstellen --> f(x)=0
Extremstellen --> f'(x)=0
Wendestellen --> f''(x)=0

Nullstellen: x(x²-9)=0 --> x=0 und x²=9 --> x=3, x=-3
Extremstellen: 3(x²-3) --> x²=3 --> x=Wurzel(3), x=-Wurzel(3)
zur Untersuchung ob es sich um Maxima oder Minima handelt,
setzen wir diese Ergebnisse jetzt in f''(x) ein:
f''(Wurzel(3))=6*Wurzel(3) <-- das ist größer als Null --> Maximum
f''(-Wurzel(3))=6*-Wurzel(3) <-- das ist kleiner als Null --> Minimum
Wendestellen: 6x=0 --> x=0
zur Untersuchung ob es sich um einen Wendepunkt handelt,
setzen wir diese Ergebnisse jetzt in f'''(x) ein:
f'''(0)=6 <-- das ungleich Null --> Wendestelle

hier kann man aber auch argumentieren,
das man eine in R stetig und daher differenzierbare Funktion hat,
d.h. zwischen einem Maximum und einem Minimum muss ein Wendepunkt existieren.
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