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Volumen von einem Kegel
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BeitragVerfasst am: 17 März 2004 - 15:26:45    Titel: Volumen von einem Kegel

In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius r=10cm und der Höhe h=30cm werden pro Sekunde 20cm³ Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers im Behälter hängen also von der Zeit t ab.
Ermitteln Sie die Zuordnungsvorschrift h(t)->V(t)
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 17 März 2004 - 17:13:43    Titel:

Ich nenne den gegeben Radius R, die gegebene Höhe H
die Füllhöhe h und den oberen Radius des gefüllten Kegelstumpfs r

Anfangsvolumen:
A = 1/3 pi R^2 H = pi Liter

Der noch nicht gefüllte Teil des Kegels hat den Radius r und die Höhe (H-h)

Nach dem Strahlensatz gilt:

H / R = (H-h) / r

aufgelöst nach r:

r = R - Rh / H

Das noch nicht gefüllte volumen ist also

U = 1/3 pi r^2 (H-h)
= 1/3 pi (R - Rh/H)^2 (H-h)
= 1/3 pi (R^2 - 2 R^2 h / H + R^2 h^2 / H^2) (H - h)
= 1/3 pi (R^2H - R^2 h - 2 R^2 h + 2 R^2 h^2 / H + R^2 h^2 / H - R^2 h ^3 / H)
= 1/3 pi (R^2 H - 3 R^2 h + 3 R^2 h^2 / H - R^2 h ^3 / H)
= 1/3 pi R^2 H (1 - 3 h / H + h^2 / H^2 (3 - h))

Für das gefüllte Volumen gilt: V = A - U

V = 1/3 pi R^2 H - 1/3 pi R^2 H (1 - 3 h / H + h^2 / H^2 (3 - h))
= 1/3 pi R^2 H (3 h / H + h^2 / H^2 (3 - h))
= 3 A h / H + 3 A h^2 / H^2 - A h^3 / H^2

In Litern:
V = pi * h + 1/3 pi h^2 - 1/9 pi h^3
= pi * h * (1 + 1/3 h - 1/9 h^2)

das "von t" musst du dir eben bei den h und r jeweils dazudenken
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