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Lineare Algerba
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Janka
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 21:33:29    Titel: Lineare Algerba

Kann folgende Aufgabe nicht lösen, die verstehe ich auch nicht ganz:

Sei A: R²->R² eine lineare Abbildung mit :

[A]{e1,e2} = ( a b )
( b c )

Zeigen Sie , dass es eindeutig bestimmte relle Zahlen u1<=u2 gibt, so dass eine Basis B von R² existiert mit:

[A] B = ( u1 0 )
( 0 u2)

Hinweis: Betrachte die Gleichung Av = uv mit v € R², u € R. Für welche u gibt es eine Lösung v € R² \ {0} ?

ich bin euch sehr dankbar, wenn ihr mir hilft die Aufgabe zu lösen.
Anni03
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 11:16:07    Titel:

Also der Hinweis, den Du gegeben hast, ist doch nichts anderes als das Eigenwertproblem.
Av=uv.... dort ist u ein Eigenwert und v der zugehörige Eigenvektor

Du mußt die Eigenwerte der Matrix A bestimmen, zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor, und die beiden Eigenvektoren bilden dann die gesuchte Basis B und u1, u2 sind dann gerade die Eigenwerte von A.

Es ist nämlich bekannt, daß wenn Du eine lineare Abbildung A (als Matrix geschrieben) in einer Basis E gegeben hast,
dann gilt:

A=S^{-1}*L*S
wobei L eine Diagonalmatrix ist, auf deren Hauptdiagonale die Eigenwerte von A stehen
und S die Transformationsmatrix zum Basiswechsel E-->B, was in diesem Fall die Matrix ist, wo in den Spalten die Eigenvektoren stehen

Ist jetzt etwas schwer, daß hier alles aufzuschreiben. Ich hoffe die Tipps reichen schon.
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