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Stammfkt./Substitutionsverfahren
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AdamRiese
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Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 57
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 22:50:40    Titel: Stammfkt./Substitutionsverfahren

bestimme eine Stammfkt. zu h

h(x)=(x+1)³


und

i)h(x)=1/(2*Wurzel(x+1))
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 22:57:40    Titel:

Ein paar Hinweise:
f(x) = x^n
F(x) = 1/(n+1)*x^(n+1)

P(x) = F(G(x))
p(x) = f(G(x)) * g(x)

K(X) = (x-2)^4
k(x) = 4*(x-2)^3


h(x)=1/(2*Wurzel(x+1)) = 1/2 * (x+1)^(-1/2)
AdamRiese
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Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 57
Wohnort: Bocholt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:08:19    Titel:

thomas da du hast mich irgendwie verwirrt willst du die kettenregel anwenden?Hier geht es aber um die berechnung von Stammfkt und somit von Integralen, da kann man nur die Substitutionsregel in diesem Fall benutzen oder auch Produktregel der Integralrechnung genannt!

bei der ersten AUfgabe hab ich 4 raus??
Sephiroth
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Anmeldungsdatum: 08.12.2004
Beiträge: 115
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:10:20    Titel:

Kann nicht stimmen, denn wenn F(x)=4 ist dann ist F´(x)=f(x)=0#(x+1)³
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:16:39    Titel:

Also, wenn man bei der Ableitung die Kettenregel anwendet, dann muss man beim Integrieren auch diese Regel beachten!

Bei Deinen Beispielen ist das einfach, weil die innere Ableitung immer 1 ist, so dass die Kettenregel im Grunde nicht wirklich berücksichtigt werden muss.

Als Beispiel mit innerer Ableitung gleich 2:

f(x) = (2x-2)²
F(x) = 1/3*1/2*(2x-2)³

und ausführlich:
H(x) = 2x-2
h(x) = 2
g(x) = a²
G(x) = 1/3*a³
f(x) = g(H(x)) = 1/h(x) * h(x) * g(H(x)) = 1/2*2*(2x-2)²
F(x) = 1/h(x) * G(H(x)) = 1/2 * 1/3*(2x-2)³
AdamRiese
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Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 57
Wohnort: Bocholt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:17:47    Titel:

stimmt mist wie soll man es den berechnen weis es keiner hier?
AdamRiese
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Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 57
Wohnort: Bocholt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:21:54    Titel:

schön und gut du hasst es so umgangen aber mir ging es besonders darum dass gezeigt zu bekommen welches und wie man die Verfahren zur Berechnung von Stammfkt. bei Integralen nun anwendet also zb partielle integration oder die substitutionsregel??
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:22:31    Titel:

Und nun ein Beispiel mit innerer Ableitung gleich 2x:

f(x) = sin(x²+1) * 2x = g(H(x)) * h(x)
Man muss hierbei von der inneren Funktion irgendwie die Ableitung haben, wenn es sich um eine einfache Zahl handelt, dann kann man das mit einem Vorfaktor ausgleichen, aber hier brauchen wir also das 2x als Faktor. Ohne diesen Faktor wäre die Bestimmung der Stammfunktion sehr schwierig.

F(x) = -cos(x²+1) = G(H(x))
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:24:35    Titel:

Mit den Regeln kenne ich mich nicht mehr so genau aus, ich kompensiere das mit Erfahrung und ausprobieren, also F(x) "raten" und Ableitung testen.
wild_and_cool
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 23:54:30    Titel:

h(x)=(x+1)³
H(x) = Integral[(x+1)³]dx
=> Sub.: u=x+1 --> du/dx=1 --> du=dx
Einsetzen:
H(x) = Integral[(u)³]du = 1/4 * u^4 + C
Resub.: 1/4 (x+1)^4 + C

und

h(x)=1/(2*Wurzel(x+1))
H(x) = Integral[1/(2*Wurzel(x+1))]dx = 1/2 * Integral[1/Wurzel(x+1)]dx =
1/2 * Integral[1/(x+1)^(1/2)]dx = 1/2 * Integral[(x+1)^(-1/2)]dx
=> Sub.: u=x+1 --> dx=du (s.o.)
Einsetzen:
H(x) =1/2 * Integral[(u)^(-1/2)]du =1/2 * 2 * u^(1/2) + C
Resub.: (x+1)^(1/2) + C = Wurzel(x+1) + C
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