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Stetigkeit
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a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 22:29:33    Titel: Stetigkeit

Hi!

Ich weiß nicht so recht, wie ich vorgehen muss, wenn ich beweisen soll, dass eine Funktion stetig ist. Ich habe die Definition (abs(x-a) < delta => abs(f(x)- f(a)) < epsilon) und beispielsweise die Funktion f(x)= 2x^2

dann beginne ich mit:

abs(f(x)-f(a)) = abs (2x^2 - 2a^2), wie muss ich weiter umformen? Ziel ist es doch irgendwann abs(x-a) * irgendwas zu haben, oder? Gibt es da ein rezept, wie man das im allgemeinen löst?

Danke!
Weasel
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 22:43:37    Titel:

Hmm...

also wir haben die Stetigkeit immer so bewiesen, wenn der Linksseitige und rechtsseitige Grenzwert von f(x) für x gegen die gesuchte Stelle h gleich dem Funktionswert an der Stelle h ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig.

Gruß Weasel
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 22:49:14    Titel:

Kannst du mir das vielleicht mal an einem kurzen Beispiel zeigen?
aldebaran
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 22:57:32    Titel:

Hi,

Infos unter:
www.gess.rw.bw.schule.de/pdfxx/Stetigkeit-1_2004-09-01.pdf
www.gess.rw.bw.schule.de/pdfxx/Stetigkeit-2_2004-11-23.pdf
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:02:28    Titel:


Hier ein Beispiel für eine nicht stetige Funktion, tan x.

Bei Annäherung an Pi/2 von links und von rechts existieren unterschiedliche Grenzwerte (+ unendlich und - unendlich).

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:12:30    Titel:

wie mache ich das, wenn ich zeigen soll, dass die Funktion in einem Definitionsbereich stetig ist? z. B. Sei D=[1,2]? Untersuche ich dann die Grenzwerte für x strebt gegen 1 und für x strebt gegen 2?
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:16:51    Titel:

Nein, Du musst für jeden Wert von x aus D[1,2] zeigen, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind.

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:24:53    Titel:

aber für einen Definitionsbereich der Art D={x , wobei x > 1/2} würde ich ja kein Ende finden.

In solchem Fall, müsste ich dann nach meiner Definition vorgehen, oder?[/list]
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:34:08    Titel:

Deine Definition ist ja auch richtig, das ist nur eine andere Darstellung.

Im Allgemeinen lässt sich die Stetigkeit leicht aus der Funktion bestimmen. Ich gebe mal ein kleines Beispiel.
Eine Treppenfunktion für die gilt:

y = 0 für x von 0 bis 1 und
y = 1 für x größer 1

Die Stetigkeit für x>1,5 ergibt sich aus der Funktion y = 1. Für jedes x größer 1,5 ist die Funktion, egal ob von links oder von rechts kommend, gleich 1, also sind die Grenzwerte gleich.

Jetzt nehmen wir den Definitionsbereich von 0,5 bis 1,5. An der Stelle x = 1 ist die Funktion unstetig. Denn, kommt sie von links, dann ist y laut Definition = 0, kommt sie von rechts, dann ist y laut Definition = 1. Hier stimmen also linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert nicht überein. Das heißt, bei x = 1 ist die Funktion nicht stetig.

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 23:41:42    Titel:

Danke, dass habe ich verstanden. Nur mein Problem ist, dass wir es meistens mit der Definition gemacht haben, jetzt weiß ich nicht, ob es auch akzeptiert wird, wenn ich dass mit dem Grenzwert machen.

Die Geschichte mit dem Grenzwert kann ich doch nur anwenden, wenn ich einen kleinen Definitionsbereich habe, oder eine genaue stelle, die ich untersuchen soll, oder? bzw. ich muss die Stelle finden, an der die Funktion stetig bzw. nicht stetig ist.

Wäre nett, wenn es mir einer noch mit der Definition am Beispiel f(x)=2x^2 erklären könnte.
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