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konvergenz der Reihen von komplexen Zahlen
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kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
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BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 18:05:27    Titel: konvergenz der Reihen von komplexen Zahlen

Hallo an alle!

also irgendwie komme ich nicht weiter nit diesem aufabenblatt.
KOennte mir vielleicht ein paar hinweise geben? waehre sehr lieb von euch Smile
die aufgabe ist folgendes: man muss beweisen, dass fuer z aus C mit |z|<1 konvergiert die Reihe
Summe (n=1 bis unendlich) [(n-ter Wurzel aus n)*z^n]

sehr wichtig!ich waehre euch allen sehr dankbar!!! Laughing [/list]
Gast







BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 21:51:11    Titel:

Vielleicht mit dem Wurzelkriterium ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium

Rolling Eyes
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 22:05:06    Titel:

Wie es relativ schwer aus obigem zu erkennen ist Smile ist das ganze eine Potenzreihe.

lim_inf a_n / a_(n+1) = lim_sup a_n / a_(n+1) = 1.

Daher ist der Konv.-Radius 1. Das ist äquivalent zur Behauptung.
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
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BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 23:37:26    Titel:

also, es ist eine Potenzreihe. dann benutze ich automatisch die Cauchy-Hadamard Formel:
r= 1/ lim sup (n-te wurzel von [n-te wurzel von n])= 1/ lim sup(n^2-te wurzel von n).
und weiter ist mir bis jetzt nicht ganz so klar Sad
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
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BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 23:39:39    Titel:

wieso denn a_n / a_(n+1) Question
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
Wohnort: Kiev/Frankfurt

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 23:45:21    Titel:

also ich wuerde dann schreiben
1/ lim sup(n^2-te wurzel von n)=lim (1/sup(n^2-te wurzel von n))
und dann weiss ich nicht, was sup(n^2-te wurzel von n) ist, bzw wie man es ausrechnet
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 17 Dez 2004 - 13:08:13    Titel:

Ich bin davon ausgegengen, Du besuchst eine Analysis Vorlesung ca. in der Mitte. Da nimmt man ja doch Kriterien für Konvergenzradien für Potenzreihen durch. Es heisst nicht immer den Hadamard benutzen, sondernDu solltest durch Skript duchblättern und eben nach solchen Kriterien suchen. Eines davon steht oben:

Satz: Sei \sum_{i=0}^{\infty} a_n z^n eine K-Wertige (domain-valued) Potenzreihe, wobei K ein Banachraum ist. Dann gilt für den Konvergenzradius die Ungleichung:

lim_inf ||a_n|| / ||a_{n+1}|| \leq r \leq lim_sup ||a_n|| / ||a_{n+1}||

bezüglich der erweiterten Metrik auf R (\alpha/0 = \infty für \alpha in [0,\infty[ usw.).

Der Beweis ist auch nicht schwer. Im obigen Fall sind die beiden Limiten gleich und gleich 1. Dass kann man leicht ausrechnen.

P.S. Sorry ich habe die Normstriche ausgelassen, dachte wäre sowieso klar.
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