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Kreis in komplexer Zahlenebene
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BeitragVerfasst am: 30 Dez 2004 - 12:19:46    Titel: Kreis in komplexer Zahlenebene

Hallo, hab da ein kleines Problem mit folgender Aufgabe

Für welches a Element R (a>0) liegen die Lösungen der Gleichung:

a(-1+j)*z^3 = 16*sqrt(2)

auf einem Kreis in der komplexen Zahlenebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2?


Dass Betrag von z- zo also Betrag von z = 2 sein muss weiß ich aber irgendwie komm ich bei der Auflösung nicht voran (Realteil Imaginärteil)

Vielen Dank für eure Hilfe
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 31 Dez 2004 - 01:18:18    Titel:

z = p + j*q

2 = |z| = sqrt(p²+q²)
4 = p²+q²
4 - q² = p²
sqrt(4-q²) = p


a(-1+j)*z³ = 16*sqrt(2)
a(-1+j)*(p + j*q)³ = 16*sqrt(2)
a(-1+j)*(p³ + j3p²q - 3qp² - jq³) = 16*sqrt(2)
a(-p³ - j3p²q + 3qp² + jq³ + jp³ - 3p²q - j3qp² + q³) = 16*sqrt(2)
a(-p³ + 3qp² - 3p²q + q³) +ja(-3p²q + q³ + p³ - 3qp²) = 16*sqrt(2)
Trennung der Gleichung in je eine Gleichung für Realteil und Imaginärteil:
-3p²q + q³ + p³ - 3qp² = 0
a(-p³ + 3qp² - 3p²q + q³) = 16*sqrt(2)
Mit der Gleichung 4 = p²+q² oder sqrt(4-q²) = p haben wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten und die sollten sich somit lösen lassen.
quando
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Anmeldungsdatum: 13.03.2007
Beiträge: 67

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 18:35:51    Titel:

Hallo ich hab auch Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:
Es steckt auch meiner Meinung nach, noch ein kleiner Fehler in der Auflösung drin:
Zitat:
Trennung der Gleichung in je eine Gleichung für Realteil und Imaginärteil:
-3p²q + q³ + p³ - 3qp² = 0
a(-p³ + 3qp² - 3p²q + q³) = 16*sqrt(2)


Da fehlt doch bei der Imaginärauftrennung noch das a, wenn ich die Gleichungsauflösung richtig nachvollziehe.

Hat wer vielleicht noch eine effizientere und schnellere Lösung (kann man das evtl. auch grafisch machen)?
Ich weiß nur dass für a = 2 rauskommen soll.

Danke und Gruß quando
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7380
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 18:58:16    Titel: Re: Kreis in komplexer Zahlenebene

guest hat folgendes geschrieben:
a(-1+j)*z^3 = 16*sqrt(2)
Kann man nicht mit z³ = (r∠φ)³ rechnen:

Deine Gleichung: a(-1+j)*z^3 = 16*sqrt(2)

z^3 = 16*sqrt(2)/(a(-1+j)) = (16/a)∠-45°

r³ = 2³ = 8 = 16/a ---> a = 16/8 = 2

Die drei Lösungen liegen dann bei r=2 und ∠15°, ∠-105°, ∠135°

Edit VZ der Winkel richtiggestellt


Zuletzt bearbeitet von isi1 am 26 Jan 2008 - 19:31:49, insgesamt einmal bearbeitet
quando
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Anmeldungsdatum: 13.03.2007
Beiträge: 67

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 19:20:22    Titel:

Hmm prinzipiell sieht das schon mal gut aus, aber ich kann deinem Lösungsweg nicht ganz folgen.
Code:
z^3 = 16*sqrt(2)/(a(-1+j)) = (16/a)∠-45°

hier schreibst du irgendwie die Umformung hin und danach gleich den Radius.
Aus was ziehst du di Wurzel dass du auf die drei Winkel kommst?
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7380
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BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 19:29:19    Titel:

a(-1+j)*z^3 = 16*sqrt(2) ... in polarform wandeln

a(√2 ∠-45°) * (r∠φ)³ = 16*√2 ... beidseits durch √2

(a∠-45°) * (r∠φ)³ = 16 ... beidseits dividiert durch (a∠-45°)

(r∠φ)³ = 16/a ∠45° ... hatte ich einen Fehler gemacht

r soll laut Vorgabe = 2 sein und 2³ = 8, also

für dem Betrag: 8= 16/a ---> a = 2


und für den Winkel: φ = (45°+k*360°)/3 für k=1,2,3
quando
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Anmeldungsdatum: 13.03.2007
Beiträge: 67

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 19:46:36    Titel:

Ah cool jetzt kapier ich das.
Der Schritt mit der Umwandlung von z^3 in Exponentialform machts aus Smile
Und ich hantier damit x+jy und so Späßen rum.
Jetzt ists klar. Danke dir vielmals!!!
Juhuu heute nacht noch ruhig schlafen und Montag dann Mathe rocken.
Wünsch allen die am Montag ne Prüfung haben auch noch viel Glück!
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 20:43:00    Titel:

.

Zitat:
Für welches a Element R (a>0) liegen die Lösungen der Gleichung:

G→: a(-1+j)*z^3 = 16*sqrt(2)

auf einem Kreis in der komplexen Zahlenebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2?

was meint ihr zur folgenden Überlegung:

wenn alle Lösungen z der Gleichung G die Bedingung |z|=2 erfüllen müssen, dann
muss der Betrag von z³ folglich gleich 8 sein: also:

|z³| = | (16*√2) / [-a*(1-j)] | = | (16*√2 *(1+j) / (-a*2)| = | 8* √2 *(1+j) / (-a)| = |8|* |√2 *(1+j) / (-a)|

und wegen |z³| = 8 .. Arrow .. | [√2 *(1+j) / (-a) | = 1

also |-a| = |a| = | √2 *(1+j) | = √2 * |(1+j)| = √2 * √2 = 2

also |a|=2 .. und wegen Vor. a>0 .. Arrow .. a = 2 Smile
.
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7380
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 20:48:47    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
was meint ihr zur folgenden Überlegung:
Ja genau, mathefan,
mathematisch sauber erklärt Smile

@quando: Ich drück Dir die Daumen! Laughing
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