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Dimension und Bild
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sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 21:51:31    Titel:

es fällt mir ein Stein vom herzen, dachte schon, dass ich selbst den Gauss nicht mehr durchführen kann.

kleine Nachfrage bleibt aber noch

Gibt es einen Unterschied zwischen den beiden Matrizen?

0 2 2 1
1 2 0 2
2 1 0 1
1 1 2 0

und

0 1 2 1
2 2 1 1
2 0 0 2
1 2 1 0
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 22:33:40    Titel:

Naja. Die Matrizen sind verschieden. Also gibt es einen Smile

Im Ernst. Schau mal meine aller erste Antwort an. Du Setzt ja Einheitsvektoren ein und bekommst eben dadurch die Spalte als Bilder. Bleibt noch zu untersuchen, ob man nicht einfach die Matrix selbst nehmen kann. Schau Dir folgendes an:

A =
(1,0)
(2,0)

Die Zeilen von A als Matrix in R^2x2 spannen den UnterVRaum {l(1,0) | l in R}. Jetzt schauen wir mal an, was die Abbildung für einen Bildraum hat. Setze mal die Basis V.R. der Einheitsbasis ein (1,0) und (0,1). Dann bekommst Du für (1,2) den Vr. (1,0) und für den zweiten (0,0).

Der Unterschied liegt auf der Hand.
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 22:43:45    Titel:

die zweite ist die Ausgangsmatrix
die erste die Bildmatrix, so dass das ergebnis die dimension des Bildes ist?!


Sorry, dass ich noch mal nachfragen muss.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 22:50:38    Titel:

Ich verrstehe nicht wirlich was Du meinst. Die idee ist die folgende (A ausgangsmatrix)

A * (1,0,0,0)^T = (0,2,2,1)^T
A * (0,1,0,0)^T = (1,2,0,2)^T
A * (0,0,1,0)^T = (2,1,0,1)^T
A * (0,0,0,1)^T = (1,1,2,0) ^T

Auf der rechten Seite sind Vektoren, die den Bildraum der Abbildung aufspannen (es gibt ja so einen Satz, aus dem das folgt). Jetzt willst Du eine Basis für den aufgespannten Raum rausfinden.

Du kannst naiv vorgehen: Prüfe ob die linear unabhängig sind (sind sie nicht). Also schmeiss einen raus und prüfe wieder und wieder, solange die restmenge linear unabhängig ist.

Das ist Mist.

Besser ist eben Gauss-Reduktion mit den Basisvektoren. Als Ergebnis hast Du Vektoren, die eben eine Basis bilden.

Und obiges Gegenbeispiel zeigt, dass die Vektoren der Zeilen zu nehmen falsch ist.
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 23:01:07    Titel:

Dank dir.

Betrachte die Aufgabe jetzt als gelöst.
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