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kleiner sinus
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Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 12:47:11    Titel: kleiner sinus

Ich frage mich schon eine ganze Weile und jetzt will ich es einfach wissen:

Wie beweise ich (mir), dass lim(xgegen0) von sin(x)/x =1 ??

Das es so ist habe ich in der Schule oft genug gehört, nur bewiesen haben wir das eigentlich nie, jetzt muss ich es wieder anwenden und weil ich es nicht genau verstehe muss ich mich immer wieder ärgern.

Kann mir da irgendwer weiterhelfen, oder muss ich das einfach so schlucken und hoffen, dass ich trotzdem irgendwann wieder schlafen kann Wink

mfg mortimer
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 12:53:19    Titel:

Das ist relativ einfach, wenn man die Regel von l'Hospital anwendet:

lim[x->0] [sin(x)/x] = [0/0]->l'Hospital-> = lim[x->0] [cos(x)/1] = 1
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:00:02    Titel:

hui, das ging ja schnell
aber so ganz verstanden hab ich das noch nich:
Wie kommst du denn auf den cosinus, was ist denn genau "die Regel von l'Hospital"?
Und wie kann ich dann diese Regel beweisen?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:07:03    Titel:

Man kann es auch anders zeigen:
Mit dem Differenzenquotienten, der die Ableitung an einer bestimmten Stelle x bestimmt:

lim[x->0] [sin(x)/x] = lim[x->0] [{sin(x)-sin(0)} / {x-0}] = [sin(0)]' = cos(0) = 1
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:17:54    Titel:

Very Happy danke, das hast du toll aufgeschrieben,
es ist nur so, dass wir gerade auf diesem Weg (nur in die andere Richtung) gezeigt bekommen haben, dass die Abl. von sinus eben der cosinus ist.
Ist mir schon fast peinlich dich nochmal zu bitten...
Du kannst mir jetzt natürlich auch alternativ die Abl. des sinus auf eine Methode zeigen.

Tut mir leid, aber in meinen Augen dreht sich hier gerad alles im Kreis...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:21:38    Titel:

Sehr vereinfacht gesagt ist die Regel von l'Hospital dann anzuwenden,
wenn man bei einer Limesberechnung nach dem Einsetzen des Wertes für x folgendes dastehen hat:

[0/0] oder [unendlich/unendlich] oder [- unendlich / - unendlich]

Dann besagt die Regel, das man:

lim[x->0] [ f(x) / g(x) ]
--> einsetzen x=0: f(0)=0 und g(0)=0 , also [0/0]
--> lim[x->0] [ f'(x) / g'(x) ]

Zu beachten ist, das man den Nenner und den Zähler getrennt voneinander ableiten muss !!!

Bewiesen wird der Satz üblicherweise mit dem verallgemeinerten Mittelwertsatz, was relativ kompliziert ist.
Nachweisen kann man ihn mit Hilfe des Taylor-Satzes durch die Approximation von sin(x) durch das erste Taylor-Polynom.

Ich denke, das das hier aber zu weit gehen würde...
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:24:41    Titel:

Zu l'Hospital:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung79/
http://www.mathematik.net/0-calc_site_deutsch/applets/lopi/lopi.html
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:29:45    Titel:

Mortimer hat folgendes geschrieben:
:D danke, das hast du toll aufgeschrieben,
es ist nur so, dass wir gerade auf diesem Weg (nur in die andere Richtung) gezeigt bekommen haben, dass die Abl. von sinus eben der cosinus ist.
Ist mir schon fast peinlich dich nochmal zu bitten...
Du kannst mir jetzt natürlich auch alternativ die Abl. des sinus auf eine Methode zeigen.

Tut mir leid, aber in meinen Augen dreht sich hier gerad alles im Kreis...


Jetzt kann ich Dir nicht ganz folgen...
Die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus, das stimmt !
Und nichts anderes habe ich oben geschrieben !
Der Differenzenquotient ist die Ableitung an einer bestimmten Stelle x.

Also:
Ableitung von sin(x) an der Stelle x=0 also [sin(0)]' ist der Differenzenquotient für x->0 : lim[x->0] [{sin(x)-sin(0)} / {x-0}]

Da im Zäher der sin(x)-sin(0) =sin(x)-0=sin(x) ist, und im Nenner x-0 = x steht dann da:
lim[x->0] [sin(x)/x]

Und das war das was Du gesucht hast !!!
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:37:10    Titel:

Ja, ich muss schon sagen, der l'Hospital hat da echt 'nen cleveren Satz aufgestellt. Der gefällt mir richtig gut, auf den werd ich in näherer Zukunft bestimmt öfter verweisen können und dann ganz einfach Grenzwerte berechnen.

Aber um den auf mein Problem anwenden zu können muss ich ja immer noch vernünftig bewiesen haben, dass cos die Abl. von sin ist.

Ok, ich weiss langsam nerve ich echt Embarassed
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 13:42:37    Titel:

hey danke, das war jetzt aussagekräftig genug für mich Very Happy ,
man muss mir immer erst mit dem Brett auf den Kopf hauen, wenn ich mich in so einem Problem festgebissen habe.

DANKE für deine Ausdauer Wink
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