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Integral
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full-nand
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Anmeldungsdatum: 17.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 01:11:10    Titel: Integral

Hallo
Wie geht man am besten folgendes Integral an? Ich denk mal Substituieren, aber was?

2x^3/sqrt(2+x^2) dx
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 14:52:10    Titel: Re: Integral

full-nand hat folgendes geschrieben:
Hallo
Wie geht man am besten folgendes Integral an? Ich denk mal Substituieren, aber was?

2x^3/sqrt(2+x^2) dx


0.
$ 2*(x^3) / sqrt(2 + x^2) dx

1.
substituieren von x = sqrt(t^2 - 2)

= $ 2*(sqrt(t^2 - 2)^3) / sqrt(2 + sqrt(t^2 - 2)^2) * 1/(2*sqrt(t^2 - 2)) * 2*t dt
= $ 2*(t^2 - 2)*sqrt(t^2 - 2) / t * 1/sqrt(t^2 - 2) * t dt
= $ 2*(t^2 - 2) dt
= 2 * $ t^2 - 2 dt
= 2 * ((t^3)/3 - 2*t)

2.
re-substituieren mit t = sqrt(2 + x^2)

= 2 * ((sqrt(2 + x^2)^3)/3 - 2*sqrt(2 + x^2))
= 2 * sqrt(2 + x^2) * ((2 + x^2)/3 - 2)
= 2/3 * sqrt(2 + x^2) * ((x^2) - 4)


EDIT: jetzt stimmts. hab das ergebnis per software (derive) verifizieren lassen...


Zuletzt bearbeitet von hartwork am 04 Feb 2005 - 00:22:15, insgesamt einmal bearbeitet
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 15:27:46    Titel:

Wo liegt denn das Problem.

Die Aufgabe läuft doch genau analog zum einer der vorhergehenden Threads. Nur dass die Substitution jetzt nicht x²-3 sondern x²+2 ist

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/14966,0.html

Gruß
Andromeda
full-nand
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Anmeldungsdatum: 17.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 16:03:07    Titel:

Da hast du recht Andromeda, aber ich hab den Thread erstellt bevor ich den anderen entdeckt hab Smile
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 00:33:27    Titel:

hab meine lösung korrigiert.

Andromeda hat folgendes geschrieben:
Wo liegt denn das Problem.

Die Aufgabe läuft doch genau analog zum einer der vorhergehenden Threads. Nur dass die Substitution jetzt nicht x²-3 sondern x²+2 ist

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/14966,0.html

Gruß
Andromeda


mag sein, dass die funktionen ähnlich sind, aber die stammfunktionen
sind reichlich verschieden, was vermutlich sinn der aufgabe war:


3*(x^3)/sqrt(x^2 - 3) = [sqrt(x^2 - 3)^3 + 9*sqrt(x^2 - 3)]'

2*(x^3)/sqrt(x^2 + 2) = [sqrt(x^2 + 2) * 2/3 * (x^2 - 4)]'
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 00:51:00    Titel:

Das ist doch wieder ein Schmarrn. Wenn man mal von der Konstanten 3 inder ersten und 2 in der zweiten Formel absieht, sind die Stammfunktionen fast identisch.

∫x³/√(x²+2) dx = 1/3 * √(x²+2)³ - 2*√(x²+2)

∫x³/√(x²-3) dx = 1/3 * √(x²-3)³ + 3*√(x²-3)


Gruß
Andromeda
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 01:01:11    Titel:

da du anscheinend recht hast, würd
ich dich bitten, mir zu zeigen, wie man

2/3 * sqrt(x^2 + 2)^3 - 4*sqrt(x^2 + 2)

in

sqrt(x^2 + 2) * 2/3 * (x^2 - 4)

umformt oder andersherum und wie
man das abgeleitete zusammenfässt
um die ausgangsfunktion zu erhalten,
da hakt's bei mir. danke!

ps: was studierst du und in welchem
semester?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 01:17:07    Titel:

Das ist weiter nicht schwierig. Also Deine Gleichung

sqrt(x^2 + 2) * 2/3 * (x^2 - 4) zieh die 2/3 vor

2/3* sqrt(x^2 + 2) * (x^2 - 4)

Jetzt kann ich den letzten Term umformen: (x^2 - 4) = (x^2 +2) -6

Jetzt führe ich die Multiplikation aus

2/3 *sqrt(x^2 + 2)^3 - 6 *2/3* sqrt(x^2 + 2)

und das ist gleich

2/3 *sqrt(x^2 + 2)^3 - 4* sqrt(x^2 + 2)

So, jetzt muss ich in die Heia.

Gute Nacht.Andromeda
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
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BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 02:45:12    Titel:

danke!
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