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Integration
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Gast







BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 22:37:46    Titel:

Man kennt keine Integration von ln, nur eine Ableitung.
Daher wendet man da einen "Trick" an und tut so, als müsste man hier Gegenteil der Produktregel anwenden - also partielle Integration, weil man da einen Teil integrieren kann und den andern Teil differenzieren. Daher nimmt man dann den ln-Teil, um ihn zu differenzieren.

F(x) = Int [ 1 * ln(x + 3)]

1 = v'
ln(x + 3) = u

partielle Integration:

uv - Int von [u'v]

lg katja
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 22:57:10    Titel: Re: Integration von LN-Funktion mit Linearterm via Substitut

V.L.i.1.S. hat folgendes geschrieben:
eitet man dies aber nun ab, so kommt nicht f(x) heraus.

Mithilfe von Mathe-Software kann man die richtige SF, die beim Ableiten dementsprechend auch f(x) ergibt, ermitteln:

F(x)=-x Log[3 - x] + 3 Log[-3 + x] + (3 + x) Log[3 + x]



Wie soll das vor sich gehen?

Die Ursprungsfunktion hat einen Definitionsbereich x zwischen -3 bis +3. Der mittlere Term deiner Formel lässt aber nur x > 3 zu. Dann, woher kommt der log anstatt der ln?

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 23:15:23    Titel: Re: Integration von LN-Funktion mit Linearterm via Substitut

V.L.i.1.S. hat folgendes geschrieben:
Problem:

Gegeben ist

f(x)=LN(3+x)-LN(3-x).

f(x) soll integriert werden. Integriert man mithilfe der aus dem 12er-LK bekannten Methode "Integration durch Substitution" (rsp. "Kettenregel rückwärts"), so bekommt man raus:

F(x)=(3+x)*LN(3+x)-(3-x)*LN(3-x)



Hier hast Du einen Fehler gemacht.

Bei der 2. Substitution hast du übersehen, dass dx = - dy ist (da y = 3-x und somit y' = -1 ist). Also ändert sich das Vorzeichen und die Stammfunktion lautet:


F(x)=(3+x)*LN(3+x) + (3-x)*LN(3-x) +C

Und laut Grafik stimmt sie.

Gruß
Andromeda
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