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Nullstellen einer Kurvenschar
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Therminator
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Anmeldungsdatum: 19.06.2007
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 12:16:29    Titel: Nullstellen einer Kurvenschar

Hallo!
Folgendes Problem:

Gegeben ist die Kurvenschar:

fk(x) = x² - kx + k

Gezeigt werden soll, ab welchem k es keine Nullstellen mehr gibt.

Ich habe dann x² - kx + k > 0 gesetzt.
Nach allen möglichen Umformungen bleibt jedoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit den zwei Variablen umgehen soll.

Vielleicht kann mir jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 12:21:50    Titel:

fk(x) = x² - kx + k

Du kannst die Funktion auch einfach gleich 0 stellen .
Und dann kannst du mit der pq oder Mitternachtsformel erkennen , für welche k , 2, 1 oder keine Lösungen vorhanden sind .
Therminator
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Anmeldungsdatum: 19.06.2007
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 13:07:48    Titel:

Gibt es da keine andere Lösung bei der das Ungleichheitszeichen stehen bleibt ?
Und es ergibt sich ein Problem mit der Wurzel bei der p,q-Formel, da das k ja auch negativ sein kann!
Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 13:15:48    Titel:

Therminator hat folgendes geschrieben:

Und es ergibt sich ein Problem mit der Wurzel bei der p,q-Formel, da das k ja auch negativ sein kann!


Ja, und genau in diesem Fall, also dass die Diskriminante negativ ist, gibt es ja auch keine Lösungen.

Also ich habs immer so gelernt:

1. Funktion mittels quadratischer Ergänzung beginnen zu faktorisieren.

2. An der Stelle, an der man normalerweise die 3. binomische Formel anwenden sollte, also bei f(x) = (x+-a)^2 - b

sollte man dann für b ne Gleichung aufstellen und kucken, wann diese positiv und wann diese negativ ist. Ist sie negativ, so gibt es keine Nullstellen, da ja dann da steht (x+-a)^2 - (-b) , also (x+-a)^2 +b
und dann kein faktorisieren mittels 3. binom möglich ist.

Ist im Grunde aber das gleiche, wie Tyro es vorgeschlagen hat.
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 13:20:01    Titel:

Therminator
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Anmeldungsdatum: 19.06.2007
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 16:36:41    Titel:

Ok, vielen Dank schon einmal so weit.

Bleibt nur noch folgendes Problem:

Wenn ich k²-4k>0 bzw. k²-4k<0 zu k auflösen will, weiß ich ja nicht, ob ich das Ungleichheitszeichen umdrehen muss, für den Fall dass k negativ ist.
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 16:51:16    Titel:

k²-4k=0

k(k-4)=0

k1=0

k2=4

Nun weißt du , dass es für diese Zahlen 1 Nullstelle gibt .
Jetzt musst du ja schauen , was außerhalb und innerhalb dieses Intervalls so los ist . Einfaches Zahlenbeispiel .

k ist nun 2 . Also einfach mal die goldene Mitte.

k²-4k
2²-4*2
4-8=-4

Negativ ! Also zwischen den Zahlen ist die Funktion negaiv, d.h. keine Nullstelle .

Nun teilst du das Ganze in die Intervalle ein .
Es gibt also 1 NUllstelle , wenn k € {0;4} ist .
Ist k € ]0;4[ , gibt es keine Nullstellen .
Alle weiteren k ergeben 2 Nullstellen .
Therminator
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Anmeldungsdatum: 19.06.2007
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 17:45:45    Titel:

Gut, alles klar Smile

Vielen Dank für deinen Einsatz!
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