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Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
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Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 00:07:48    Titel: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

So, keine Ahnung ob hier jemand bei einem so "fortgeschrittenen" Thema weiterhelfen kann, aber versuchen kann man es ja. Ich lerne gerade für eine Funktionalanalysisprüfung und hab so meine Probleme damit, wie die Hauptsätze der Funktionalanalysis denn nun aus dem Satz von Baire folgen, was in der Vorlesung (und auch in den Büchern) meist behauptet wird-ich sehe da immer nur Argumentationen mit Mengen 2.Kategorie u.ä., aber nie, dass da jetzt der Satz von Baire benutzt wird. Ich hab als Beispiel das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit genommen, weil es da noch das Zusatzproblem gibt, dass ich die super allgemeine Formulierung aus unserer Vorlesung in den Büchern so nicht wiederfinde-da werden meist nur Banachräume oder allgemein vollständige Räume vorausgesetzt.

Also: Wie wird der Satz von Baire denn nun konkret eingesetzt, um den Satz zu beweisen?

Da die Formulierungen in den Büchern nicht immer gleich sind, geb ich noch die aus unserer Vorlesung an:

Satz von Baire:

Sei X ein vollständiger metrischer Raum. Dann ist jede offene Teilmenge D von X von 2.Kategorie in X.

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit:

Es seien E,F metrische lokalkonvexe Räume (=> schon mal nicht vollständig!) und H Teilmenge L(E,F). Es gebe eine Menge B von 2.Kategorie in E, so dass für alle x € B die Menge {Tx| T € H} in F beschränkt ist. Dann ist H gleichstetig.

Den Beweis aus der Vorlesung tipp ich erstmal nicht ab; vielleicht weiß ja jemand so Bescheid. Wenn keiner diese Version des Satzes kennt, kann ich ja den vorgeführten Beweis noch abtippen.
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 19:56:48    Titel:

Hallo Physikus,

also mich würde der Beweis zu diesem Satz (gleichmässige Beschränktheit) interessieren.
Und wenn es zu viel Mühe macht ihn einzutippen, so wüsste ich wenigstens gerne wieso man das Bairesche Prinzip anwenden kann.

Und zu dem Satz von Baire zwei Gedanken:
1) Dieser Satz stellt nur ein hinreichendes Kriterium dar, also wenn ein vollständiger,metrischer Raum gegeben ist, so lassen sich gewisse Argumentationen durchführen, es sind auch durchaus andere hinreichende Kriterien denkbar.

2) Die Formulierung mit den offenen Mengen konkret zeigt zwar eine gewisse Eigenschaft, es gibt aber auch Umformulierungen der Folgerungen des Satzes, welche dann für "Anwendungen" (also zum Beispiel Existenzbeweise oder Zerlegungseigenschaften oder "dichte"Argumentationen (dicht nicht im topologischen Sinne hier, sondern eher im maßtheoretischen) geeigneter sind.

Wenn es dich interessiert, schreib ich morgen was dazu, hab nur grad keine Zeit.

Viel Erfolg beim lernen
MfG Mirona
Physikus als Gast
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 21:55:58    Titel:

So, gerade keine Lust mich einzuloggen und wieder alle neuen Beiträge durchzugehen-hier schreib ich aber mal was zu:
Es mag ja sein, dass es auch andere hinreichende Kriterien gibt, die man sich vorstellen kann-aber es wird halt immer gesagt, das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit beruhe auf dem Satz von Baire, also muss er ja explizit in den Beweis eingehen. Das dumme ist: in nahezu allen Büchern wird der Beweis konkreter formuliert, mit Banachräumen oder zumindest vollständigen Räumen, so dass der Satz angewendet werden kann-in unserer Vorlesung wurde aber eben nur ein metrisch lokalkonvexer Raum vorausgesetzt und nichtmal ein Fréchetraum-also keine Vollständigkeit. Deswegen verstehe ich auch gar nicht, wie der Satz da überhaupt eingehen kann, weil doch diese entscheidende Voraussetzung fehlt. Auch wenn laut Rudin, "Functional Analysis" der Satz von Baire auch in lokalkompakten, hausdorffschen, topologischen Vektorräumen gilt (also wohl ohne Vollständigkeit?), so ist er in unserer Formulierung nur bei Vollständigkeit gültig, sie ging entscheidend in den Beweis ein. Obiges Buch ist übrigens auch das einzige, das so eine allgemeine Formulierung des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit enthält, aber da erkenne ich auch nirgends, dass im Beweis der Satz von Baire eingeht. Aber es kann doch nicht sein, dass es in Wirklichkeit gar nicht benötigt wird-wenn das in fast allen Büchern so steht (auch im Buch unseres Profs, vielleicht kennst du es: Kaballo, Analysis Bd.III) und in der Vorlesung so gesagt wurde. Confused

Den Beweis hier abtippen wäre wohl sinnlos, das könnte man kaum lesen. Ich werde es in TeX schreiben, als Bilddatei speichern und über Imageshack hier reinstellen-aber auch frühestens morgen. Danke schon mal, dass du dich dieses schwierigen Problems annehmen willst. Smile
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 23:32:35    Titel:

So, ich mach's mal doch jetzt:

[img=http://img109.exs.cx/img109/9409/beweis3kz.th.gif]
Das ist wortwörtlich so, wie ich es in der Vorlesung mitgeschrieben habe.
Übrigens ist mir eine Stelle im Beweis selbst unklar: Wie komme ich auf die Aussage ||Tx||_k <= n + ||Ta||_k ? Müsste da nicht Minus statt Plus stehen? Confused
Gast







BeitragVerfasst am: 13 Feb 2005 - 18:08:15    Titel:

Hallo Physikus,

kann das Bild leider nicht anschauen, ich gehe mal von dem Beweis im Buch Kabello III aus.

Argumente vermittels so eines "Baire"-Prinzip zerfallen im Allgemeinen in 2 Schritten.

Schritt 1) sich überlegen, warum so eine Baire-Argumentation anwendbar ist (hier werden also hinreichende Kriterien benötigt)

Schritt 2) Ausführen so eines Baire-Argumentes (gibt verschiedene konkrete Versionen, ich stelle gleich einige vor)

Ich fange zur Erläuterung mit Schritt 2 an:

In einem topologischen Raum T sind folgende vier Eigenschaften äquivalent:
1) Jede offene nicht-leere Menge ist von 2.Kategorie.
2) Das Komplement jeder Menge von erster Kategorie ist dicht.
3) Der Durchschnitt abzählbar vieler offener,dichter Teilmengen ist dicht.
4) Die Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Teilmengen ohne innere Punkte ist ohne inneren Punkt.

Falls nun eine dieser Bedingungen erfüllt ist, so lassen sich "Baire"-Argumentationen durchführen.
Einige Beispiele :
Vermittels Eigenschaft 1 lassen sich Baire-Argumente auf offene Teilmengen übertragen (dies ist recht erstaunlich, da Mengen erster/zweiter Kategorie recht "unanschauliche" Eigenschaften haben, selbst wenn es nur die Mengeninklusion ist, als "Faustformel" gilt : wenn es um offene Mengen geht, geht Argumentationen meistens gut, die Eigenschaft 1 ist eine heuristische Bestätigung für diese Faustformel).
Vermittels Eigenschaft 2 lassen sich Dichtheitsargumente anwenden (insbesondere Existenzbeweise), zum Beispiel um zu Beweisen das es stetige, nirgens diffbare Abbildungen gibt ( der Raum der stetigen Abbildungen erfüllt obige Eigenschaft und die Menge der nirgends diffbaren Abbildungen liegt dicht darin, im Gegensatz zur "menschlichen" Erfahrung, das die stetigen Abbildungen die man kennt, meist auch diffbar sind).
Vermittels Eigenschaft 3 lassen sich Argumente auf lokale Mengen übertragen (zum Beispiel Beschränktheitsargumente, gegebenfalls wird die Menge etwas kleiner).
Und Eigenschaft 4 kann als eine globale Existenzaussage gewertet werden (siehe unten).

Falls man Eigenschaft 4 negiert und nur auf den ganzen Raum T selber anwendet, so erhält man folgende schwache Eigenschaft 4' :

4' ) Wird der gesamte Raum T von einer abzählbaren Familie abgeschlossener Teilmengen überdeckt, so enthält wenigstens eine dieser Teilmengen einen inneren Punkt.

Falls also 4' in T gilt, so lässt sich damit ein Existenzargument durchführen.

Nun werden noch hinreichende Kriterien benötigt, wann denn eine der vier obigen Eigenschaften gilt und da gibt es die beiden "handelsüblichen" hinreichenden Kriterien (auch als Satz von Baire bezeichnet) :
Wenn ein T ein vollstandiger metrischer Raum oder T ein lokal-kompakter topologischer Raum (diese sind bei mir nach Definition immer hausdorffsch) so gelten die vier obigen äquivalenten Eigenschaften (und damit auch insbesondere 4' ).


Um nun also ganz konkret auf den Beweis in Kabello III einzugehen:

Für diesen Beweis des recht allgemein formulierten Satzes (Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit) wird der Satz von Baire nicht benötigt, dennoch nennt man die Argumentatiion Bairesches Kategorienargument.

Genauer : In der Voraussetzung steht ja etwas von einer gegebenen Menge B von 2.Kategorie, und in solch einer Menge gilt nach Definition die Eigenschaft 4' .

Erst wenn dieser Satz konkret auf einen für die Funktionalanalysis interessanten Raum (zum Beispiel reelle Zahlen oder stetige Funktionen) angewendet wird, muss die Existenz so einer Menge B begründet werden und dann wird der Satz von Baire benutzt (zum Beispiel R^n ist ein vollstandiger, metrischer Raum, nach deinem Satz von Baire erfüllt dieser die Eigenschaft 1 und damit letzlich auch 4 und 4' und damit kann der R^n selbst als Menge B herhalten).

Also das Bairesche Prinzip spielt genau an der Stelle eine Rolle, an der die Menge B von abzählbar vielen Mengen B(n) überdeckt wird und man dann in den Abschlüssen einer dieser B(n) einen inneren Punkt auswählt und weiterrechnet.

Ganz formal spielt also der Satz von Baire beim Beweis keine Rolle, erst wenn der allgemeine Satz auf einen konkreten, interessanten Raum angewendet wird, muss formal begründet werden, warum man das denn darf, und da kommt der Satz von Baire ins Spiel.

Bemerkung : Topologische Räume mit einer der Eigenschaften 1 bis 4 heissen Bairsche Räume.

Also eine gedankliche Trennung in abstrakte Räume, in welchen solche Bairschen Kategorienargumente gelten, und hinreichenden Kriterien, welche begründen warum die wichtigen Räume zu dieser Klasse zählen, ist vermutlich nützlich um einige Literatur durchzuarbeiten.

Hoffe das hilft dir etwas.

MfG Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2005 - 18:10:29    Titel:

Grummel, zu langsam gewesen beim schreiben. Embarassed

MfG Mirona
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2005 - 18:24:26    Titel:

Zitat:
Wie komme ich auf die Aussage ||Tx||_k <= n + ||Ta||_k ?


In Tx=Tx+Ta-Ta=T(x+a)-Ta zu den Normen _k übergehen und die rechte Seite vermittels Dreiecksungleichung nach oben abschätzen,also

||Tx||_k <= ||T(x+a)||_k + ||Ta||_k <= n + ||Ta||_k

MfG Mirona
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2005 - 22:17:23    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Hallo Physikus,

kann das Bild leider nicht anschauen, ich gehe mal von dem Beweis im Buch Kabello III aus.

Komisch, dass du das Bild nicht sehen kannst. Aber der Beweis im Buch ist natürlich derselbe-selber Autor. Wink

Zitat:
2) Das Komplement jeder Menge von erster Kategorie ist dicht.

Das war bei uns komischerweise eine Folgerung aus dem Satz von Baire. Confused
Danke, dass du dir so viel Mühe gemacht hast, das Thema allgemein zu erläutern-aber als Nebenfächler muss ich nicht so tief in die topologischen Grundlagen einsteigen. Wink Prof.Kaballo hat uns Physikern auch versprochen, topologische Räume, schwache Topologien usw. aus der Prüfung rauszuhalten-Zitat "Sie sind ja Physiker, wozu sollen sie dann sowas wissen."

Zitat:
(...) Nun werden noch hinreichende Kriterien benötigt, wann denn eine der vier obigen Eigenschaften gilt und da gibt es die beiden "handelsüblichen" hinreichenden Kriterien (auch als Satz von Baire bezeichnet) :

Hmm, klingt alles relativ kompliziert und übersteigt meinen mathematischen Horizont doch ein wenig. Ich werde mich bei dem Thema wohl nur eng an seine Vorlesung halten müssen und kann nicht großartig darüber hinaus versuchen, die Dinge zu verstehen. Sad

Zitat:
Für diesen Beweis des recht allgemein formulierten Satzes (Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit) wird der Satz von Baire nicht benötigt, dennoch nennt man die Argumentatiion Bairesches Kategorienargument.

Also lag ich doch richtig, dass er gar nicht eingeht. Cool

Zitat:
Erst wenn dieser Satz konkret auf einen für die Funktionalanalysis interessanten Raum (zum Beispiel reelle Zahlen oder stetige Funktionen) angewendet wird, muss die Existenz so einer Menge B begründet werden und dann wird der Satz von Baire benutzt (zum Beispiel R^n ist ein vollstandiger, metrischer Raum, nach deinem Satz von Baire erfüllt dieser die Eigenschaft 1 und damit letzlich auch 4 und 4' und damit kann der R^n selbst als Menge B herhalten). (...)
Ganz formal spielt also der Satz von Baire beim Beweis keine Rolle, erst wenn der allgemeine Satz auf einen konkreten, interessanten Raum angewendet wird, muss formal begründet werden, warum man das denn darf, und da kommt der Satz von Baire ins Spiel.

Ah ja, das ist mir auch beim Beweis des Satzes von Banach-Steinhaus aufgefallen, der für Frécheträume formuliert wurde, die dann von 2.Kategorie sind, so dass das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit angewendet werden kann. Also brauche ich den Satz gar nicht zum Beweis, sondern um eben diese geforderte Menge 2.Kategorie zu finden. Toll-warum können die Lehrbuchautoren das nicht mal so einleuchtend sagen, anstatt immer die irreführende Formulierung zu nehmen, das Prinzip d.gl.B. beruhe auf dem Satz von Baire oder folge daraus. Rolling Eyes In Kaballos Buch steht's auch so drin und in der Vorlesung klang das auch immer so.

Zitat:
Also eine gedankliche Trennung in abstrakte Räume, in welchen solche Bairschen Kategorienargumente gelten, und hinreichenden Kriterien, welche begründen warum die wichtigen Räume zu dieser Klasse zählen, ist vermutlich nützlich um einige Literatur durchzuarbeiten.

Wie gesagt: so vertieft werde ich mich damit wohl nicht befassen (müssen).

Zitat:
Hoffe das hilft dir etwas.

Auf jeden Fall; ich danke dir recht herzlich. Very Happy Jetzt muss ich nur noch schauen, ob ich den Satz von der offenen Abbildung verstehe, zu dem ich bald komme; dann hab ich die Hauptsätze alle durch und komme zu den topologischen Sachen, die ich ja nur überfliegen muss. Cool

Zitat:
In Tx=Tx+Ta-Ta=T(x+a)-Ta zu den Normen _k übergehen und die rechte Seite vermittels Dreiecksungleichung nach oben abschätzen

Aaaah, und genau dieses Tx = T(x+a) - Ta war der Schritt, der mir nicht in den Sinn kam... Embarassed Dass es irgendwie mit der Dreiecksungleichung zu tun haben muss, war mir klar; nur ich wollte halt direkt ||T(x+a)|| <= ||Tx|| + ||Ta|| benutzen, und das führt zu nix.
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