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fakultät von 0 = 1?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> fakultät von 0 = 1?
 
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PatrickHH
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Anmeldungsdatum: 25.01.2007
Beiträge: 1573
Wohnort: Norderstedt

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 01:39:08    Titel: fakultät von 0 = 1?

Wie kann es sein, dass die fakultät von 0, 1 ist? von 3 ist die fakultät 6, weil !3 = 1*2*3 = 6 ... aber 0? Es müsste doch heißen: 0! = 0* = nicht definiert.

?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 01:49:58    Titel:

eine erweiterung der Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen wird durch die gammafunktion gegeben. google dannach und finde raus, dass gamma(n)= (n-1)!

da gamma(1)=1 ist folgt, dass man 0!=1 setzt. (wird auf oft versucht mit dem leeren produkt zu erklären, obwohl die erklärung scheisse ist).
Jomira
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 3402
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 01:53:15    Titel:

Eigentlich hast Du recht. Die "Fakultät" gibt ja die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten der n-Elementigen Menge an: Sprich, n=4 also haben wir 4! Möglichkeiten die Elemente anzuordnen. Bei 0 Elementen gibt es keine Möglichkeit die Elemente anzuordnen (es gibt ja keine Elemente), demnach müßte 0!=0 sein. Trotzdem hat man 0!=1 definiert. Und mehr ist es, meines Wissens auch nicht: Pure Konvention Cool
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 02:05:37    Titel:

nein eben nicht. wieviele möglichkeiten es gibt die leere menge anzuordnen sollte auch klar sein, nämlich eine.

sonst: post oben GAMMAFUNKTION!!!
PatrickC
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Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 11:57:24    Titel:

das ist ähnlich wie die Konvention, dass x^0=1 ist. Zunächst wirkt es sehr willkürlich, aber im Endeffekt steht schon was größeres dahinter. Ich kann nur zustimmen, lest mal was über die Gammafunktion, z.B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
PatrickHH
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Anmeldungsdatum: 25.01.2007
Beiträge: 1573
Wohnort: Norderstedt

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 13:05:53    Titel:

Moment.. ohne jetzt die Gammafunktionen mir angekuckt zu haben: Ich kann die Elemente nur in eine Ordnung bringen und deshalb ist Fakultät gleich 1?


Ich werd' mir das mal durchlesen! Dankeschön erstmal Smile
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 13:13:16    Titel:

Eigentlich ist die Erklärung mit den Anordnungen nur ein Resultat. Die Sache mit dem leeren Produkt: So sinnlos ist das gar nicht. Für n! kann man auch schreiben:
n! = [Produkt aller k von k=1 bis n]

Wenn man nun n=0 hat, dass würde von 1 bis 0 sein, was heißt, dass keine Faktoren zur Grundzahl hinzu multipliziert werden. Diese Grundzahl ist bei Produkten halt Eins und bei Summen Null. Nochmal ein wenig abstrakter: Die Null ist das Neutrale Element der Gruppe der ganzen Zahlen. Die Eins ist das Neutrale Element der Gruppe der positiven reellen Zahlen.
titatina
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Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 905
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 13:28:27    Titel:

PatrickC hat folgendes geschrieben:
das ist ähnlich wie die Konvention, dass x^0=1 ist. Zunächst wirkt es sehr willkürlich, aber im Endeffekt steht schon was größeres dahinter.


Allerdings. Diese Tatsache lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze in einem Einzeiler nachweisen.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2007 - 14:06:43    Titel:

genauso läßt sich 0^0=1 durch stetigkeitsargumente zeigen und ist keine bloße konvention!
Käptn
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Anmeldungsdatum: 11.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2014 - 18:17:40    Titel:

Hier ein Beweis mit Realschulmathematik:

(a-b)! kann mit b!/b! erweitert werden:

I: (a-b)!=[ (a-b)! / b! ] * b!

Wir wissen das (a-b)! aus a-b vielen Faktoren besteht und das b! aus b vielen Faktoren besteht. Deswegen stehen in der eckigen Klammer a-b-b oder alternativ a-2*b viele Faktoren.
Wir wollen in der Eckigen Klammer 1 Faktor haben.
Dann ist a-2*b=1
<=> II: b=(a-1)/2.

Gleichung I hat mit einem Faktor in der eckigen Klammer die Form:

Ia: (a-b)!=[a-b]*b!

Überprüfung am Beispiel: Wenn a=7, dann ist nach GL II b=3
(7-3)!=4!=[7-3]*3!=4*3*2*1=4! Wunderbar, die Gleichungen stimmen wohl Smile

II wir nun Ia eingesetzt und zur Gleichung III:

III: ( (a+1)/2 )!=( (a+1)/2 )*( (a-1)/2 )!

Es wird a=1 in GL III eingesetzt:

1!=1*0! <=> 1!=0!
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