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s(t) bei Rückstellkraft und konstanter Kraft
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> s(t) bei Rückstellkraft und konstanter Kraft
 
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Hyperion
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 623

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2007 - 17:48:41    Titel: s(t) bei Rückstellkraft und konstanter Kraft

Angenommen Ich habe eine Masse, die an einer Feder hängt. Auf diese wirken ja dann die Rückstellkraft FR=-Ds und die Schwerkraft FS=-mg. Damit ergibt sich als Beschleunigung

d²s/dt² = -D/m * s - g

Wie soll Ich denn jetzt diese Differentialgleichung lösen?
Angenommen s sei a*sinωt + b*cosωt, dann ergibt sich

d²s/dt² = -ω²(a*sinωt + b*cosωt) = -(D/m*(a*sinωt + b*cosωt)+g)

(ω²-D/m)(a*sinωt + b*cosωt) = g

a*sinωt + b*cosωt = g/(ω²-D/m)

Was offensichtlich falsch ist, da g,D,m und ω Konstanten sind.
Meine zwei Fragen also:

1. Ist dieser Vorgang noch eine harmonische Schwingung?
2. Wie ist die Differentialgleichung zu lösen?

Vielen Dank dafür (hoffentlich),
Hyperion
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
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BeitragVerfasst am: 28 Nov 2007 - 18:24:30    Titel:

nach deinem Ansatz müsste es mit a*sinωt + b*cosωt + c klappen

oder du substituierst s = x - mg/D und kommst auf x'' = -(D/m) x, die übliche Schwingungsgleichung
Hyperion
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 623

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2007 - 21:22:17    Titel:

Wenn Ich a*sinωt + b*cosωt + c = s annehme, dann ist d²s/dt² = -ω²(a*sinωt + cosωt) = -D/m(a*sinωt + cosωt) -Dc/m - g

(ω²-D/m)(a*sinωt + b*cosωt) = Dc/m + g

Und da c entweder eine Konstante oder t mal eine Konstante ist, ist die Gleichung nicht zu erfüllen.

Mit dem Subtrahieren funktioniert es so in der Tat. Aber wenn Ich dann wieder resubstituiere, haut die Differentialgleichung für s immer noch nicht hin. Letzlich ist es ja das selbe, wie s abzuleiten und dann wieder zu integrieren, um auf

d²s/dt² = -D/m * s

zu kommen. Das kann doch nicht stimmen. Oder doch?

Grüße, Hyperion
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
Wohnort: gleich um die Ecke

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2007 - 21:40:10    Titel:

Hyperion hat folgendes geschrieben:

(ω²-D/m)(a*sinωt + b*cosωt) = Dc/m + g

nimm doch ω² = D/m und c = -mg/D, dann wird die Gleichung zu 0 = 0.

Zur Substitution:

x'' = -(D/m) x führt auf x = a sinωt + b cosωt, wobei ω² = D/m
s = x - mg/D = a sinωt + b cosωt - mg/D

s'' = -ω² (a sinωt + b cosωt)
-(D/m) s - g = -(D/m) (a sinωt + b cosωt) + (D/m) (mg/D) - g = -ω² (a sinωt + b cosωt)

also stimmt die Gleichung auch für s
Hyperion
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 623

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2007 - 21:45:31    Titel:

Stimmt, das funktioniert wirklich. Das ist ja zu simpel. Ich muss mich da irgendwo verrechnet haben. Vielen Dank.
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