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Logarithmus ohne log
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Logarithmus ohne log
 
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Gast







BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 21:52:03    Titel:

2^x = 32
d.h. x = log aus 32 zur Basis 2

1. Allgemeine Logarithmusaufgabe in Aufgabe mit natürlichem Logarithmus umwandeln

x = ln32/ln2

2. Potenzreihenentwicklung für natürlichen Logarithmus berechnen.

...und zwar für ln32 und für ln2. Das Problem ist, dass Punkt 2 sehr rechenintensiv ist, und nur langsam konvergiert. Eigentlich eine Aufgabe für Rechenmaschinen.


ln32 = 31 - 31²/2 + 31³/3 -.....
ln2 = 1 - 1²/2 + 1³/3 -.....

Es gibt bessere Reihendarstellungen, die schneller konvergieren, aber auch die sind rechenintensiv.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 22:05:09    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:

ln32 = 31 - 31²/2 + 31³/3 -.....
ln2 = 1 - 1²/2 + 1³/3 -.....

Es gibt bessere Reihendarstellungen, die schneller konvergieren, aber auch die sind rechenintensiv.


Diese Reihe konvergiert überhaupt nicht für x=32. Diese Reihenentwicklung hat als Konvergenzbereich 0 < x ≤ 2.

Deshalb habe ich oben auch die allgemeine Formel hingeschrieben, die konvergiert für x > 0.

Gruß
Andromeda
darkslayer
Gast






BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 22:43:16    Titel:

also das mit dem ....... muss ich ausrechen?

Und wie lange geht das??

dieses ln.Kann ich dafür auch log schreiben?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 22:51:43    Titel:

darkslayer hat folgendes geschrieben:
also das mit dem ....... muss ich ausrechen?

Und wie lange geht das??

dieses ln.Kann ich dafür auch log schreiben?


Das dauert einige Zeit, vor allem, weil man sich öfters verrechnet. Hängt ab, von der Genauigkeit, die du haben willst. Die Zahlen werden auch ganz schön groß bei 32.

Wenn du nur die log-Funktion nicht benutzen sollst, dann würde ich sowieso die Intervallschachtelung vorziehen. Dies ist eine gängige Methode und recht schnell. Allerdings musst du mit dem Taschenrechner potenzieren dürfen.

Und die Reihenentwicklung gilt nur für den natürlichen Logarithmus ln, nicht für einen anderen log.

Gruß
Andromeda
darkslayer
Gast






BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 10:39:01    Titel:

Ja ich darf die Potenzier TAste benutzen.Kanst du mir das dann mal erklärem mit dieser gängigen Methode?

Dafür gibt es nämlich bei uns ne Eins als belohnung^^ wäre echt nett Very Happy [/quote]
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 11:19:52    Titel:



schau, dein Taschenrechner benutzt auch nur diese Formel und errechnet
die ersten 8 Glieder der Summe.

Du hattest ja die Aufgabe 2^x=11 <=> x = ln(11) / ln(2)

nun setzt du einfach in obige Formel fuer x = 11 ein (danach x = 2)

also ln(11) = 2* [ (11-1)/(11+1) + (11-1)^3/(3*(11+1)^3) + (11-1)^5/(5*(11+1)^5) ]

<=> ln(11) = 2* [ 10/12 + 10^3/(3*12^3) + 10^5/(5*12^5) ] = 2,213220164

Hier habe ich allerdings nur die ersten 3 Glieder berechnet, dementsprechend ist das ergebnis fuer ln(11) ziemlich ungenau..
( ln(11) = 2,397895272 )

das heisst, je mehr Glieder du ausrechnest, desto genauer kommst du auf das Ergebnis.
In der Regel sollte das berechnen bis zum 8.ten Glied ausreichen.

cu...
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 11:26:33    Titel:

Damit die Zahl nicht zu einfach wird:

2^x = 22

Man sucht 2 Zahlen x1 und x2, für welche 2^x1 zu klein und 2^x2 zu groß ist.

Zum Beispiel:
x1 = 3 , denn 2³ = 8
x2 = 5 , denn 2^5 = 32

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(3+5) = 4

2^4 = 16, also zu klein.

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4+5) = 4,5

2^4,5 = 22,6, also zu groß.

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4+4,5) = 4,25

2^4,25 = 19,04, also zu klein

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,25+4,5) = 4,375

2^4,375 = 20, 75, also zu klein

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,375+4,5) = 4,44

2^4,44 = 21,07, also zu klein, aber schon ziemlich nah dran

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,44+4,5) = 4,47

2^4,47 = 22,16, jetzt ein bisschen zu groß

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,44+4,47) = 4,455

2^4,455 = 21,93, zu klein, aber fast schon brauchbar

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,455+4,47) = 4,4625

2^4,4625 = 22,046

Noch ein mal

Jetzt bildet man einen neuen Wert x = ½ *(4,455+4,4625) = 4,45875

2^4,45875 = 21,99

Wenn du willst, kannst du für größere Genauigkeit weitermachen.
Diese Methode geht ja recht schnell.
Du siehst ja, wie die Grenzen der Intervallschachtelung zu wählen sind.

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 11:30:10    Titel:

@Faulus

Faulus hat folgendes geschrieben:

In der Regel sollte das berechnen bis zum 8.ten Glied ausreichen.

cu...


Dir wünsche ich viel Spass beim ausrechnen von 31^15/(15*33^15).

Gruß
Andromeda
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 13:21:38    Titel:

Oo :D
darkSLAYER
Gast






BeitragVerfasst am: 05 März 2005 - 14:26:05    Titel:

also dann verzichte ich wohl auf die 1^^ also es gibt keine "kurze" Rechenart?

Komisch Rolling Eyes wir haben den log erst seid Mittwoch und am Freitag bekomen wir schon sowas als Aufgabe^^
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