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(sin x/x)' bei x=0
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> (sin x/x)' bei x=0
 
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StudentT
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Anmeldungsdatum: 05.11.2006
Beiträge: 1623
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BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 16:24:45    Titel: (sin x/x)' bei x=0

Hallo,

bekanntlich ist ja der Grenzwert von sin x/x für x gegen 0 gleich 1. Wie sieht es nun mit der Steigung an dieser Stelle aus? Ich habe dazu erstmal die Ableitungsfunktion gebildet

(1) (sin x/x)'=(x cos x - sin x)/x² .

Der Grenzwert für x gegen 0 ergibt für diesen Term 0/0, daher wende ich l'Hospital an und erhalte dann den Term

(2) (cos x - x sin x - cos x)/2x = -1/2 sin x ,

was gegen 0 geht. Also hat sin x/x zwar bei x=0 einen wohldefinierten (Grenz-)Wert, und eine wohldefinierte Steigung.

Danke abschließend für's Helfen!

Gruß,
Markus


Zuletzt bearbeitet von StudentT am 15 Jan 2008 - 21:38:53, insgesamt einmal bearbeitet
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 16:28:58    Titel:

Dine Ableitung ist falsch.


(u / v)' = (v'u - uv') / v²



Ich habs nicht ausgerechnet, aber die Ableitung müsste 0 sein.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 16:35:47    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
Dine Ableitung ist falsch.


(u / v)' = (v'u - uv') / v²



Ich habs nicht ausgerechnet, aber die Ableitung müsste 0 sein.


ein u' muss auch vorkommen.. Wink

mfG
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 16:36:44    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:

(u / v)' = (v'u - uv') / v²


Wie Bitte?

f(x)=u(x)*v(x)^(-1)

f'(x)=u(x)'*v(x)^(-1) + (-1)*u(x)*v(x)^(-2)*v(x)'

f'(x)=[u(x)'*v(x)]/v(x)^2 - [u(x)*v(x)']/v(x)^(2)

f(x)'=[u(x)'*v(x) - u(x)*v(x)']/v(x)^(2)

u(x)=:u
v(x)=:v

f(x)'=[u'v-v'u]/v²
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 16:42:40    Titel:

Ahhh, Asche auf mein Haupt Embarassed


Habs falsch von wikipedia abgeschrieben, das u und das v sehen da aber auch fast gleich aus Neutral
http://upload.wikimedia.org/math/3/d/a/3da9151eff9a04a9b3de437ac55222c8.png


@topic: Dann ist später in deiner Rechnung ein Fehler drin, da du bei der Anwendung der Krankenhausregel das sin(x) nicht abgeleitet hast.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 17:03:26    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:

Habs falsch von wikipedia abgeschrieben Neutral


Abgeschrieben.. Very Happy

Jedenfalls warrr derrr Korrekturrrkrrrrrrrrieg errrrfolgrrreich! SIEG!

schönen Tag noch Very Happy
StudentT
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Anmeldungsdatum: 05.11.2006
Beiträge: 1623
Wohnort: Esslingen

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 21:39:56    Titel:

Hallo zusammen!

Danke Calculus, habe den Anfangsbeitrag entsprechend angepasst! Danke auch allen anderen.

Gruß,
Markus
StudentT
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Anmeldungsdatum: 05.11.2006
Beiträge: 1623
Wohnort: Esslingen

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 23:28:57    Titel:

Hallo nochmal zusammen,

um noch mehr über die Form der Kurve von sin x/x an der Stelle 0 herauszubekommen, hat mich nun noch interessiert, ob es sich bei der Stelle um ein Maximum oder Minimum handelt. Mittlerweile weiß ich ja bereits, daß die Kurve bei (0|1) ein Extremum hat, also die Ableitung dort null ist.

Für die zweite Ableitung von sin x/x habe ich

[-x^4 sin x - 2x² cos x + 2x sin x] / x^4 ,

wofür ich für den Grenzwert an der Stelle x=0 nach Viermaliger Anwendung von l'Hospital dann auf -1/3 komme, womit es sich um ein Maximum handeln müßte.

Kann das irgendwer bestätigen?

Gruß,
Markus
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 23:33:55    Titel:

hast du dir die Funktion schonmal zeichnen lassen? Ist fuer den ersten Ueberblick hilfreich.

Gruss:


Matthias
alexx
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 520

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2008 - 23:36:27    Titel:

ja ich kanns bestätigen... hab mir den graphen mal plotten lassen, da konnte mans gut ablesen:)
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