Geometrische-Harmonische-Arithmetische Mittel

ebs · Full Member Anmeldungsdatum: 03.11.2007 Beiträge: 217

Mittelwert und Durchschnitt - Berechnung des geometrischen und des arithmetischen Mittels zweier Zahlen mit Beispielen und Angabe der Formeln:

http://www.sengpielaudio.com/Rechner-geommittel.htm

Viele Grüße ebs

PS:
Beispiel für das typische arithmetische Mittel ist der Mittelwert von zwei Zensurnoten. Note 2 und Note 4. Rechnung: (2 + 4) / 2 = 3.
Beispiel für ein geometrisches Mittel ist die Frequenz in der Mitte unseres Hörbereichs. Wir hören etwa zwischen 20 Hz und 18000 Hz. Rechnung:
Wurzel aus (20 * 18000) = Wurzel aus 360000 = 600 Hz.

ehos · Full Member Anmeldungsdatum: 08.01.2009 Beiträge: 87 Wohnort: Vorpommern

Eine typische Anwendung des geometrischen Mittels existiert in der Finanzmathematik.

Beispiel:
Angenommen ein Kunde legt 5 Jahre lang ein Anfangskapital von A=100 EURO beider einer Bank an. Die Zinssätze schwanken von Jahr zu Jahr wie folgt

1.Jahr p1=5%
2.Jahr p2=3%
3.Jahr p3=4%
4.Jahr p4=8%
5 Jahr p5=6%

Frage: Wie lautet der durchschnittliche Zinssatz?

In der Finanzmathematik stellt der so genannte „Zinsfuß“ eine wichtige Hilfsgröße dar, welche die Rechnungen vereinfacht. Die Zinsfuß ist definiert als q=1+p/100, also

1.Jahr q1=1,05
2.Jahr q2=1,03
3.Jahr q3=1,04
4.Jahr q4=1,08
5 Jahr q5=1,06

Mit diesen Zinsfüßen kann man das Endkapital E nach Ablauf der 5 Jahre sehr einfach angeben

E=A*q1+q2+q3*q4*q5=100 EURO *1,05*1,03*1,04*1,08*1,06=128,76 EURO

Der durchschnittliche Zinsfuß q während dieser 5 Jahre ist gerade das geometrische Mittel der gegebenen 5 Zinsfüße, nämlich

q=5.Wurzel{q1*q2*q3*q4*q5}=5.Wurzel{1,05*1,03*1,04*1,08*1,06}=1,0518599

Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also 5,18599%