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Extremwertaufgabe - Lösungsweg?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Extremwertaufgabe - Lösungsweg?
 
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haya84
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 14:34:38    Titel: Extremwertaufgabe - Lösungsweg?

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben sei die Funktionsgleichung f(x) = x^2 + 1; D = R
Welcher Punkt des Funktionsgraphen liegt Punkt P (3;1) am nächsten?


Ich habe mir ein Koordinatensystem mit der Funktion aufgezeichnet und dazu den Punkt P(3;1) markiert und überlegt wie ich diese Aufgabe lösen kann, aber leider komme ich auf kein Lösungsweg. Kann mir da jemand weiterhelfen?
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
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BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 14:40:38    Titel:

Tipp: die Normale
foobar
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Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 487

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 14:41:46    Titel:

ein beliebiger punkt auf deinem graphen hat die koordinaten (t, t² + 1)

den abstand zw. 2 punkten berechnest du mit

norm( p1 - p2 )

hier ist also der abstand gegeben durch

sqrt ( (3-t)² + (1 - t² +1)²) = d

und gesucht ist, für welches t, der abstand d minimal wird. also die funktion d, ableiten und null setzen
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 14:44:57    Titel:

Die von foobar genannte Methode wird in der Vektorrechnung (meistens im IR³) verwendet.

Im IR² "genügt" die Differezialrechnung, also auch die Methode mit der Normalen..


mfG

ps: bei foobar's Methode genügt es, lediglich den Radikand abzuleiten um t zu ermitteln..
haya84
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 15:03:47    Titel:

ok, jetzt rein mal vom verständnis her:

x² + 1 ist dann t² + 1
was ist t?

und wie komme ich auf diese funktion sqrt ( (3-t)² + (1 - t² +1)²) = d ?


sorry wir haben noch keine vektorrechnungen bzw. differenzialrechnungen bisher gehabt
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
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BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 15:16:31    Titel:

Aber du kennst sicher den Pythagoras ?

mfG
haya84
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 15:22:03    Titel:

klar das weiß ich
foobar
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Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 487

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 15:27:00    Titel:

kannst auch x nennen wenn du willst

den vektor zw. 2 punkten kannst du sicher berechnen, oder? stichwort: spitze minus schaft
die länge eines vektores solltest du auch berechnen können -> pythagoras.

du hast jetzt 2 punkte: P1 (1,3) und P2 ( x, x² + 1 )
und kannst zuerst den vektor zw. den beiden punkten berechnen:

P2 - P1 = (x-1 , x² +1 -1 )

und dessen länge ist der abstand beider punkte
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 15:27:11    Titel:

Dann mach dir mal eine Skizze und zeichne dir zwei Punkte ein:

P(x1|y1)
Q(x2|y2)

Die Differenzen der Koordinaten-Paare geben die Länge der Katheten an..

Länge der 1ten Kathete: x2 - x1 = a
Länge der 2ten Kathete: y2 - y1 = b

Nun, wie berechnet sich die Länge der Hypothenuse, also der Abstand der beiden Punkte Q und P ?

a² + b² = c²
c = ...

mfG
haya84
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2008 - 16:11:40    Titel:

k danke, ihr habt mir da schonmal n stück weitergeholfen,
ich stehe jetzt jedoch hier


P1 ( 3 / 1 )
P2 ( x / x² +1 )

a = x - 3
b = (x² + 1) - 1

d² = (x - 3)² + ((x² + 1) - 1)²

ist das soweit richtig?

nun komm ich nämlich nicht weiter. :/
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