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Hessesche Normalform bilden - wie?
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theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
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BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 18:59:05    Titel:

Zitat:
welchen vorteil bringt mir den die gleichung mit einem vektor der länge 1? was kann die, was die andere nicht kann?


Wieder eine gute Frage.

Wenn du die 0 durch ein d (=Abstand) ersetzt, dann kannst du mit der HNF den Abstand zwischen zwischen einem Punkt und deiner Ebene bestimmen.

z.B.:

P(1/1/1)

1/(Wurzel 3) * (1+1+1-7) = -4/(Wurzel 3) = -2,309...

Wenn der Punkt in der Ebene liegt, dann ist d=0. Dann macht auch die Gleichung Sinn, wenn du d = 0 setzt: Dann gibt sie nämlich eine Punktemenge an, die dann die Ebene darstellt.

Das alles kann man mit einer Zeichnung recht leicht herleiten.

Willst du noch wissen, was der Unterschied zwischen einem positiven und einem negativen d ist?

mfg & LG
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 19:04:31    Titel:

Zitat:
vielleicht kannste mir wegen noch einer sache helfen. wie kommt man von der koordinatenform zurück zur punktrichtungsform?


Der Normalenvektor ist doch senkrecht zur Ebene, also auch zu den beiden Richtungsvektoren.

Du brauchst also zwei Vektoren, die senkrecht zum orthogonalen Vektor sind. einfach irgendwelche.
Versuch dir mal welche mit Hilfe des Skalarprodukts auszudenken!
Dazu braucht man ein kleines bisschen Phantasie.

Probiers einfach mal!

mfg & LG
toobee
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Anmeldungsdatum: 21.10.2007
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 19:10:01    Titel:

das mit dem positiven/negativen d, war das mit unter der ebene bei negativ und über der ebenen bei positiven zahlenwerten ?!

die umrechnung von koordinatenform nach Punk-richtungsform geht also nur, wenn ich bereits den rechtwinkligen vektor kenne?

kann ich diese gleichung ohne vorwissen aus den schritten darüber nicht zurückrechnen?

x + y + z - 7 = 0
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 19:22:41    Titel:

Zitat:
das mit dem positiven/negativen d, war das mit unter der ebene bei negativ und über der ebenen bei positiven zahlenwerten ?!


So ähnlich: Das folgende gilt nur, wenn das Vorzeichen des Konstanten Glieds negativ ist; wenn das nicht ver Fall ist solltest du die Ebenengleichung mir (-1) durchmultiplizieren:

Falls das Vorzeichen des Abstandes negativ ist, so liegt P in demselben Halbraum von E wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen hingegen im anderen Halbraum.
Zitat:

die umrechnung von koordinatenform nach Punk-richtungsform geht also nur, wenn ich bereits den rechtwinkligen vektor kenne?

Genau!
Zitat:

kann ich diese gleichung ohne vorwissen aus den schritten darüber nicht zurückrechnen?

Welches Vorwissen meinst du?

mfg & LG

mfg &
toobee
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Anmeldungsdatum: 21.10.2007
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 19:28:14    Titel:

damit ich umrechnen kann, brauch ich ja quasi 2 informationen.

1.) den Orth. Vektoren
2) den Ortsvektor auf den ich mich beziehe.

bei dieser gleichung

x + y + z = 7

muss ich ja wissen, welchen vektor ich mit dem Orthogonalen vektor mulipliziert hab.

das kann ich ja nur wissen, wenn ich vorher von punkt-richtungsform in die koordinatenform umgeformt hab?!?

aber ich glaub jetzt weis ich alles was ich brauch:-)

dankeschön
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2008 - 19:32:42    Titel:

toobee hat folgendes geschrieben:
damit ich umrechnen kann, brauch ich ja quasi 2 informationen.

1.) den Orth. Vektoren
2) den Ortsvektor auf den ich mich beziehe.



Den Ortsvektor, also der Anfangspunkt, brauchst du nicht unbedingt. Du brauchst nur irgendeinen Punkt, der in der Ebene liegt; den kannst du auch selbst finden: du setzst einfach zwei Koordinaten fest, und überlegst dir welchen Wert die dritte haben muss, so dass d=0 ist oder so dass die Gleichung einfach stimmt.

Bei deiner Gleichung, z.B.:

P(1/2/4); Q(-2/4/5); R(-4/-6/17); ..

Das konstante gleid ist für jeden Anfangspunkt gleich, sofern er in der Ebene liegt.

mfg & LG
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