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Goniometrische Extremwertermittlung
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Deniz
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 16:09:30    Titel: Goniometrische Extremwertermittlung

Hi,
ich habe damit eigentlich keine Probleme, den Extremwert einer Goniometrische Gleichung zu ermitteln. Allerdings habe ich hier ein kleines Problem.

Für Alpha schreibe ich x! (Alle Werte auf 1 Stelle nach dem Komme gerundet)

Gesucht sind die Extremwerte, die der Term T(x) = 5*cos x + 2* sin x im Bereich 0°<= x <= 120° annimmt.

5*cos x + 2*sin x | 5 ausklammern
5 ( cos x + 5/2 sin x)

5/2 = tan (phi) = sin (phi) / cos (phi)
phi = 21,8°

5(cos x + sin21,8°/cos21,8° *sin x) | 1/cos21,8° ausklammern

5/cos21,8° ( cos x * cos21,8° + sin21,8° * sinx)

5,4 * cos ( x - 21,8)


So jetzt überlegen, wann ein Maximum und wann ein Minimum vorliegt.

Für x = 21,8° erhalte ich T(max) = 5,4

das ist mir klar.


Aber das Minimum!

Minimum soll sein

Für x = 120° soll ich T(min) = -0,8 erhalten.

Die Grundmenge ist bis 120° beschränkt, aber warum ist das das Minimum?

Kanns sein, weil bei 120° der Cosinus noch die größte negativste länge hat und dass dann eben das Minimum ist?

Danke für die Hilfe.


Deniz
frague
Gast






BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 16:56:43    Titel:

Soll die Aufgabe ohne Differenzieren gelöst werden?

Question
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 17:49:42    Titel: Re: Goniometrische Extremwertermittlung

Deniz hat folgendes geschrieben:

5*cos x + 2*sin x | 5 ausklammern
5 ( cos x + 5/2 sin x)



Habe das Ganze erst mal überflogen, aber hier ist bereits ein Fehler.

5 ausgeklammert gibt in der Klammer 2/5 sin(x) und nicht 5/2 sin (x)

Gruß
Andromeda
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 18:19:54    Titel:

Hab das mal so gerechnet.

1. Nullstellenbestimmung

5*cos(x) + 2*sin(x) = 0 =>

2*tan(x) = -5/2 => x = arctan(-5/2) = -68,2°

1. Nullstelle: x1 = -68,2°

=> 2. Nullstelle = x1 + 180° = 111,8°

Das Extremum liegt in der Mitte von beiden Nullstellen = x1 + 90°

e1 = 21,8°

Das nächste Extremum liegt bei e1 + 180° = 201,8° und damit außerhalb des geforderten Bereichs.

Jetzt muss man nur noch

5*cos(21,8°) + 2*sin(21,8°) ausrechnen und erkennt, dass es sich um das Maximum handelt.



Hier kann man sehen, dass das Minimum innerhalb des Definitionsbereichs am Rand liegt (120° = 2,09 in Radiant).

Man muss noch zeigen, dass ab dem Maximum die Funktion streng monoton fallend ist

Gruß
Andromeda
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 22:22:04    Titel:

Hi,

erst mal danke. Ach ja, wegen dem Schreibfehler.
Ich hab mich hier nur verschrieben, aber das Ergebnis stimmt trotzdem, ich habe das aus dem Buch abgeschrieben.

Warum gibt es hier noch ein Minimum.

PS: ohne differenzieren

Bitte helfen. Es muss ein Minimum geben, das sagt mein Buch.
Gast







BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 22:32:16    Titel:

Du hast doch Minimum bei x=120°.
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