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Vektorrechnung Ebene, Parameterform
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Tm201
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Anmeldungsdatum: 11.11.2007
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 21:22:45    Titel: Vektorrechnung Ebene, Parameterform

Hi, ich habe ein problem an einer Aufgabe zu dem o.g. Thema.

Drei punkte gegeben.
A=(3,1,1)
B=(1,5,0)
C=(2,1,6)

Diese Punkte als Ebene angeben, in Parameterform, Parameterfrei
und in Hessescher Normalform.

Parameterform:
E=Vektor A + u*Vektor (B-A) + v*Vektor (C-A)
E=(3,1,1) + u(-2,4,-1) + v(-1,0-5)

das stimmt so mit der vorgegeben lösung überein.
nun die Parameterfreie form:
Da ist die Lösung 20x+11y+4z=75

Meine Lösung 20x+11y+4z=0

könnt ihr mir sagen wo mein Fehler ist?

Mfg
Tm201
*lissi*
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 21:36:19    Titel:

du kannst zuerst die parametergl ins hessische normalform umwandeln:
(x-(3,1,1))*(20,11,4)=0
jetzt kannst du ausmultiplizieren:
1)x*(20,11,4),da x ein vektor ist,erhälst du 20x+11y+4z
2)(3,1,1)*(20,11,4)=3*20+11*1+1*4=75

dann erhälst du die gleichung:
20x+11y+4z=75
Tm201
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Anmeldungsdatum: 11.11.2007
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 21:53:48    Titel: re

???

kjannst du das noch ein bisschen ausführlicher erklären?
ich hab es leider noch nicht richtig verstanden.
Kannst du mir zu der Hesseschen normalform was sagen?

die ist mir noch nicht ganz klar.

Mfg

vielen Dank

Tm201
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 21:56:38    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform
*lissi*
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 22:12:40    Titel:

die hessische normalform ist ja so definiert,dass in klammern die differenz zwischen dem x vektor und dem ortsvektor von der ebene(3,1,1) steht.dann multipliziert man die differnz in den klammern mit dem normalenvektor der ebene(den ermittelst durch den kreuzprodukt von spannvektoren(-2,4,-1)und(-1,0,5)),dann hast du hessische normalform stehen:
(x-(3,1,1))*(20,11,4)=0.
jetzt kannst du die klammer aufmachen,zuerst multiplizierst du x-vektor mit dem normalenvektor und dann den ortsvektor mit dem normalenvektor:
20x+11y+4z-75=0
*lissi*
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 22:21:11    Titel:

(x-(3,1,1))-ist irgendein Vektor auf der Ebene,dann ermittelt man den normalenvektor,der steht orthogonal zu der ebene,da der vektor (x-(3,1,1)) auf der ebene liegt,sind er und der normalenvektor orhogonal zueinander,derswegen ist deren sklarprodukt gleich null:
(x-(3,1,1))*(20,11,4)=0
und dieses ist zugleich das hessische normalform
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 22:30:32    Titel:

.
hi *lissi*, das ist richtig →
Zitat:
(x-(3,1,1))*(20,11,4)=0.

← aber das ist nicht die HNF (Hesse-Normal-Form) Wink


Tm201 :
die Koordinatenform der Ebenengleichung ist allgemein etwa so:
ax+by+cz+d = 0

- wobei a,b,c als Komponenten eines Normalenvektors der Ebene gelesen werden können
offensichtlich hattest du die drei Vorzahlen schon herausgefunden:
Zitat:
Meine Lösung 20x+11y+4z=0
und hast die Konstante d vergessen..
also:
20x+11y+4z + d = 0
um nun d herauszubekommen, brauchst du nur noch die
Koordinaten von einem der drei geg.Punkten einsetzen .. Wink
*lissi*
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 22:49:30    Titel:

mathefan:
klar ist das die hessische normalform!was ist deiner meinung dann die HFN?
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 22:52:31    Titel:

*lissi* hat folgendes geschrieben:
mathefan:
klar ist das die hessische normalform!was ist deiner meinung dann die HFN?


Nö, lies dir dazu doch mal den Wikipedia-Artikel durch..
*lissi*
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 23:03:19    Titel:

ja gut,stimmt,man sollte den normalenvektor noch normieren...
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