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Lagrange Optimierungsaufgabe
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ruth21
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Anmeldungsdatum: 22.10.2006
Beiträge: 85

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 00:07:35    Titel: Lagrange Optimierungsaufgabe

Hallo,
also ich habe da so eine aufgabe an der ich langsam aber sicher verzweifle-hoffe es kann mir jemand helfen... Smile

man soll mit hilfe der lagrange funktion den geringsten abstand zwischen dem punkt p=(5,5,0) und dem paraboloid z=x^2+y^2 bestimmen.

nach aufstellen der abstandsfunktion bei der ich dann die wurzel weglasse um sie nachher wieder zu ziehen komme ich auf folgende lagrangefkt.:

L(x,y,z,l)= x^2 + y^2 + z^2 -10x - 10y +50 + l*(x^2 + y^2 -z)

durch differenzieren dann das folgende glgssystem:

Lx= 2x -10 + 2lx =0
Ly= 2y - 10 + 2ly =0
Lz= 2z - l =0
Ll= x^2 + y^2 - z =0

durch subtrahieren der 2. von der 1. glg ergibt sich die beziehung x=y
durch umformen von Lz ergibt sich z = l/2

diese 2 informationen in Ll eingesetzt kommt 4y^3 y +5 = 0 heraus.

und hier hänge ich Sad
auch andere 'versionen' haben mich irgendwie nicht weiter gebracht und jetzt kenn ich mich eh schon gar nicht mehr aus. herauskommen soll für den abstand auf jeden fall 6.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen und danke schon mal im vorraus Smile

liebe grüße
ruth
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 00:40:12    Titel:

Das passt doch soweit alles Smile

x=y
z=l/2
z=2x² (aus Ll)

=>

l/2=2x²
l=4x²

in Lx: 2x - 10 + 8x³=0

=> x=1 (andere Lösungen sind komplex)

...
ruth21
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Anmeldungsdatum: 22.10.2006
Beiträge: 85

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 00:46:04    Titel:

also erst mal danke Smile

aber steh auf dem schlauch... glg. mit x^3 lösen und x=1 kommt raus...da gibts bestimmt eine formel? Embarassed
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 00:49:22    Titel:

Entweder raten (beste Methode bei Übungsaufgaben, evtl vorher Skizze), Näherungsverfahren (auch gut) oder Cardanische Formeln (stressig^^).

und da die Gleichung gekürzt zu 4x³ + x - 5 = 0 wird, springt einem ja x=1 schon fast ins Auge Wink
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