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Kurze Frage zu Reihenumformung
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Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 07 Mai 2008 - 21:11:23    Titel: Kurze Frage zu Reihenumformung

Hallo zusammen,

kurze Frage zu einer Reihenumformung. Im Zuge einer Fourieranalyse komme ich bei Betrachtung der reellen Fourierreihe an einem bestimmten Punkt auf folgende Gleichung:

0 = 1/2 + 1/(Pi)² * Summe(i=1 bis unendlich)((-1)^i - 1)/(i²)

Dieses soll jetzt benutzt werden, um den Wert folgender Reihe zu berechnen:

S := Summe(k=0 bis unendlich) 1/(2k+1)²

Bei Betrachtung der ersten Summe fällt erstmal auf, dass sie bei geraden i Null ist. Also kann ich doch schon mal i=2k setzen, oder? Dann zieh ich die sich im Zähler ergebende -2 vor die Summe. Als nächstes pass ich noch den Index an vom Startwert 1 auf 0, womit aus 2k 2k+1 wird, right?
Und damit hab ich die Form erreicht, die ich haben will, was wie folgt aussieht:

0 = 1/2 - 2/Pi² * Summe(k=0 bis unendlich) 1/(2k+1)²

Was letztendlich als Summenwert Pi²/4 ergibt.
Kann mir das jemand bestätigen?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 13:20:11    Titel:

Exakt, S = ¼·π². Die Beschreibung mit der Index-Verschiebung "2·k" ist etwas ungenau, daher würde ich das wie folgt ausdrücken: nur Terme mit ungeraden i = 2·k' -1 bleiben (wenn k' bei 1 beginnt). Mit Index-Substitution k = k'-1 →k' = k+1 wird aus "2·k' -1" das "2·k +1" für das k, welches bei 0 beginnt.
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 13:46:47    Titel:

Ah, okay. So klingt das wirklich "sauberer". Und ich bin beruhigt, dass meine Grundüberlegungen wohl alle soweit richtig waren. Bin ich also doch nicht ganz blöd. Wink

Danke für die Hilfe.
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 17:14:35    Titel:

Sorry für den Doppelpost, aber ich hab noch eine Frage, die thematisch hier rein passt, so dass ich kein neues Thema aufmachen wollte.

Es geht darum die Entwicklung der Funktion e^(-x) * sinh(x) in eine Potenzreihe um x0=0 herzuleiten.
Bekannt und gegeben ist, dass sinh(x) = 1/2(e^x - e^(-x)) ist. Damit ergibt sich schon mal:

f(x) = 1/2 - 1/2*e^(-2x) mit e^x = Summe(i=0 bis unendlich) (1/n! * x^n)

und damit

f(x) = 1/2 - Summe(i=0 bis unendl.) [(-1)^n * 2^n)]/2*n! * x^n

Da für i=0 die Summe gleich 1/2 ist, denke ich, dass man das "nullte" Glied einfach aus der Summe raus ziehen kann und natürlich die Summe dann bei i=1 beginnen läßt. Dann noch ein (-1) raus ziehen und eine 2 kürzen. Wäre dann:

f(x) = Summe(i=1 bis unendl.) [(-1)^(n-1) * 2^(n-1)]/n! * x^n

Zu guter Letzt würde ich den Index wieder anpassen mit k=n-1, um wieder in Richtung Taylorreihe zu kommen.
Die ultimative Frage: Kann man das so machen? Very Happy
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 17:49:32    Titel:

Ja, das kann so gemacht werden (sorry, ich hab Dein k und n vertauscht, aber macht nix).
exp(-x)·sinh(x) = exp(-x) ·½·[exp(x)-exp(-x)] = ½·[1-exp(-2·x)] = ½ -½·exp(-2·x)
½ -½·exp(-2·x) = ½ - Σ k=0…∞ ½·(-1)^k·2^k÷(k!) ·x^k
exp(-x)·sinh(x) = Σ k=1…∞ (-1)^{k-1}·2^{k-1}÷(k!) ·x^k
Index-Substitution
n := k-1 → k = n+1
exp(-x)·sinh(x) = Σ n=0…∞ (-1)^n·2^n÷({n+1}!) ·x^{n+1}
Jetzt hat man wieder eine Darstellung mit einem von 0 an laufenden Index n, allerdings ist der Exponent für das x im Term jetzt n+1, aber die Taylor-Reihe ist selbstverständlich identisch:
exp(-x)·sinh(x) = x-x²+2÷3 ·x³ -1÷3 ·x^4 +2÷15 ·x^5 -2÷45 ·x^6 +4÷315 ·x^7 -1÷315 ·x^8 +2÷2835 ·x^9 …
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:15:38    Titel:

Oh ja, den Exponenten von x hab ich übersehen. Danke nochmal.
Hm, wie würde man das denn rein formell als Taylor-Reihe schreiben? Mit von Null laufendem Index, aber n+1 im Exponent, oder andersherum - also Index von 1 laufend und Exponent n? Wenn also im weiteren Verlauf nach dem Taylorpolynom T(3) gefragt wird, ist dann gemeint bis zum Index 3 , oder bis zum Exponenten 3?

Und: Der Konverganzradius der Reihe ist unendlich, oder? (mit Limes(n->unendl.) |a(n)/a(n+1)|)
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:22:23    Titel:

Der Exponent ist wichtiger als der Index. Demzufolge muß Index-Substituition nicht durchgeführt werden, lieber die Summe bei Index 1 starten, dann stimmen Index und Exponent überein, das ist "Taylor-"konformer.
Und ja: die Reihe konvergiert gemäß meiner bescheidenen Ansicht überall dort, wo die zugrunde liegende Reihe für die Exponentialfunktion auch konvergiert, und das ist überall.
Schönes verlängertes Wochenende, bis DIenstag.
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:41:48    Titel:

Wunderbar. Dann hab ich ja alles richtig gemacht. Very Happy

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und dir auch schöne Pfingsten.
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