Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Schlag den Raab
Gehe zu Seite Zurück  1, 2, 3  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schlag den Raab
 
Autor Nachricht
Calculus
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 15:23:10    Titel:

p:') hat folgendes geschrieben:
ok, das macht mir den kopf doch schon grad ein bisschen klarer. allerdings gibt es da nicht alle 15-stelligen binärzahlen. 111111111111111 gibt es z.b. schonmal nicht, denn man hat ja schon gewonnen, wenn man die ersten elf spiele gewonnen hat. also geht es nur noch um die 15stelligen binärzahlen bis 111111111110000, ist das richtig?

demenstprechend kann es ja auch 00000000000001 nicht geben. sondern es geht los bei äh... äh... ?

Ich bin davon ausgegangen, dass man in jedem Fall alle Spiele zuende spielt, das entspricht der angegebenen Lösung. Wenn man aufhört sobald jemand gewonnen hat, kann man ähnlich vorgehen. Dabei werden wieder wie bereits erzählt die genannten Binärzahlen erstellt, jedoch die Punkte beider Spieler ausgerechnet. Sobald einer der beiden über 60 ist [bei jedem Durchlauf überprüfen], wird abgebrochen und das Ergebnis in die Ergebnisliste getan.


Zitat:
also, stupides auszählen? gibt's denn da nicht schöneres?

Sicherlich gibts da was, aber das ist die einfachste Methode die mir einfällt.


Zitat:
na, was bist denn du für ein schnöder mathematiker? ich dachte, in der mathematik geht es auch um eleganz... Wink

Ich verweise hier auf die Antwort, die ich ein paar Zeilen zuvor gegeben habe Wink


Zitat:
also, ich fasse nochmal zusammen:
klar, es ist ziemlich unwahrscheinlich, eine lange reihe von "nicht-sechser-würfen" zu produzieren. doch wann sollte man aufhören zu würfeln? nehmen wir mal die 50%-hürde. das würde bedeuten ich soll dreimal würfeln und dann aufhören. denn die wahrscheinlichkeit, viermal hintereinander keine sechs zu würfeln, ist weniger als 50%. jetzt hab ich also dreimal gewürfelt. und frage mich, ob ich ein viertes mal würfeln soll. die wahrscheinlichkeit, in der nächsten runde rauszufliegen, ist doch aber gopfridstutz ein sechstel. und nicht mehr als 50%.

ist das jetzt ein paradox? ich glaub ja kaum, dass ich das entdeckt hab, gibt's da nicht schon was drüber?


Da bin ich jetzt auch überfragt, Stochastik war schon immer mein Erzfeind.
Mindworm
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 15:39:44    Titel:

Zitat:
nuja, die 15 punkte hat er konkret nicht benannt...

Die folgen direkt aus seinem Ansatz.
Zitat:
nd das würde bedeuten, dass es egal ist, in wie vielen würfen man auf die 15 punkte gekommen ist. das können ja auch mehr als drei würfe sein...

Richtig.
Zitat:
und ich habe immer noch nicht verstanden, woher der würfel weiß, dass er im nächsten durchgang eher eine sechs produzieren soll als vorher...

Tut er nicht.
Melishe hat dich ein wenig auf eine falsche Spur gesetzt. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, in x Würfen keine 6 zu bekommen abhängig von x immer kleiner. Hast du allerdings schon x-1 Würfe ohne 6, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 5/6. Die x-1 Würfe ohne 6 waren eben sehr unwahrscheinlich, aber nicht ausgeschlossen.
Das alles hat eigentlich nichts mit diesem Spiel zu tun. Du musst dich fragen:
Wie viel bringt mir statistisch gesehen der nächste Wurf?
Und das ist nicht abhängig davon, wie viele Würfe du gemacht hast, sondern davon, wie viele Punkte du bereits hast.
Wenn man die Punkte in dem Spiel nicht verliert, die man bei den letzten Zügen erwirtschaftet hat (Ich habe 30 Punkte von früher, komme an die Reihe, verliere und habe immernoch die 30 Punkte), dann ist es in der Tat sinnvoll, in einem Zug zu spielen, bis man mehr als 14 Punkte hat, und dann aufzuhören.
p:')
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.01.2007
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 16:47:10    Titel:

ok, ihr dimmt mein licht immer heller. aber so ganz auf maximaler leuchtkraft ist es immer noch nicht.


also, d.h.:

p:') und mindworm zocken dieses spiel gegeneinander. p:') würfelt immer drei mal (wenn er bis dahin kommt), mindworm hört immer nach 14 punkten auf (wenn er bis dahin kommt). im prinzip müsste mindworm also gewinnen (bzw. eher gewinnen), korrekt?


das hilft mir natürlich aus der paradoxen situation, in die ich da bei der betrachtung der wurfanzahl gerutscht bin. obwohl es mir das paradox (jetzt unabhängig von diesem spiel) noch nicht klärt... und ehemm, so richtig verstanden hab ichs noch nicht, warum denn nun die punkte und nicht die anzahl würfe betrachtet werden muss.

aber ihr seid gut im erklären, ich wusste, warum ich das hier poste...
cyrix42
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 18:04:11    Titel:

Hallo!

Hast du schon mal was von Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört? Wenn nein, dann mal kurz was dazu:

Wir haben eine Zufallsgröße X, z.B. die Augenzahl des Würfels beim nächsten Wurf. Die kann ein paar (in unserem Fall endlich viele) verschiedene Werte annehmen, hier die natürlichen Zahlen 1 bis 6. Jedes dieser Ergebnisse "Würfel zeigt Zahl n" kann mit einer gewissen nicht-negativen Wahrscheinlichkeit P(X=n) eintreten, wobei die Summe dieser Wsk. genau 1 ist (also eines der Ergenisse tritt sicher ein).

Dann heißt die Größe E(X)=summe(alle Ergebnisse n) P(X=n)*n (wir summieren über alle möglichen Ergebnisse, und addieren jeweils das Produkt aus Ergebnis und der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis eintritt, bestimmen also das "durchschnittliche Ergebnis") Erwartungwert der Zufallsgröße X.

Bei einem Würfel wäre der Erwartungswert also gleich summe(n=1 bis 6) n*1/6=21/6=3,5. Wir erwarten also "im Durchschnitt" pro Wurf 3,5 Punkte.


In unserem Spiel sieht es aber etwas anders aus: Hier erhalte ich zwar für die Augenzahlen 1 bis 5 jeweils entsprechend viele Punkte, verliere aber bei der Augenzahl 6 alle P bisher in dieser Runde erspielten Punkte!

Der Erwartungswert, was mir ein weiterer Wurf also an Punkten bringt, ist:

(1/6 * 1 + 1/6*2 + 1/6*3 + 1/6*4 + 1/6*5 + 1/6*[-P])=15/6 - P/6 =2,5 - P/6.

Wenn ich also in der Runde bisher P Punkte erspielt habe, werde ich im Schnitt mit einem weiteren Wurf 2,5-P/6 Punkte auf meinem Punktekonto haben. (Man kann sich das Ganze auch so "erklären": Je mehr Punkte ich habe, desto mehr habe ich zu verlieren.)

Auf lang Sicht (bis 50 Punkte sind dabei NICHT "auf lange Sicht") lohnt es sich also jeweils so lange weiter zu würfeln, wie dieser Erwartungswert für den nächsten Wurf noch positiv ist, d.h. so lange 2,5-P/6>0 bzw. P<15 ist.

Bemerkung:
Zu erwarten ist, dass man jeweils dafür etwa 15/2,5=6 Würfe braucht, sodass dies nur in (5/6)^6=ca. 1/3 der Versuche auch wirklich funktioniert.


Über das Spiel "wer zuerst bei 50 Punkten insgesamt angelangt ist, hat gewonnen" muss ich nochmal gesondert nachdenken.


Zu den möglichen Spielständen:
Wie Calculus schoon gesagt hat: Simuliere doch einfach alle möglichen Spielausgänge.

zu den Dreieckszahlen: Zu jedem Zeitpunkt innerhalb des Spiels sind ja nur genau die Spielpunkte 1; 2; ... ; n ausgeschüttet worden. Damit muss also die Summe der Punktzahlen beider Spieler genau der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n, für irgendein n<=15 ergeben. Dies brauchst du aber nicht weiter berücksichtigen, wenn du alle Spielausgänge sowieso betrachtest.

Grüße,
Cyrix
M45T4
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 18:43:05    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Wenn ich also in der Runde bisher P Punkte erspielt habe, werde ich im Schnitt mit einem weiteren Wurf 2,5-P/6 Punkte auf meinem Punktekonto haben. (Man kann sich das Ganze auch so "erklären": Je mehr Punkte ich habe, desto mehr habe ich zu verlieren.)


Damit bin ich nicht einverstanden. Einmal bezeichnet 'P' den bisherigen, gesicherten Punktestand und einmal die Summe der gewürfelten Augenzahlen pro Würfelserie (aber in nur einem Zug..) oder wat? Smile

mfG

ps: Warum genügt es nicht (5/6)^x > 0,5 zu betrachten.. ? ist doch jut.
cyrix42
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 19:00:38    Titel:

M45T4 hat folgendes geschrieben:
cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Wenn ich also in der Runde bisher P Punkte erspielt habe, werde ich im Schnitt mit einem weiteren Wurf 2,5-P/6 Punkte auf meinem Punktekonto haben. (Man kann sich das Ganze auch so "erklären": Je mehr Punkte ich habe, desto mehr habe ich zu verlieren.)


Damit bin ich nicht einverstanden. Einmal bezeichnet 'P' den bisherigen, gesicherten Punktestand und einmal die Summe der Würfelserie in nur einem Zug.. oder wat? Smile

mfG

ps: Warum genügt es nicht (5/6)^x > 0,5 zu betrachten.. ? ist doch jut.


Ich gebe zu, dass die Bezeichnung P für die bisher in diesem Zug erspielten Punkte (also die, die ich wieder verlieren kann, wenn ich jetzt eine 6 würfele) schlecht ist. Nenne es halt S.

Dann ist der Erwartungswert für den Punkte, die ich im nächsten Zug verlieren könnte eben gelich 2,5-S/6.

Dass, was du berechnest, ist die Anzahl der Würfe, die man machen kann, um mit Wsk.<1/2 keine 6 zu werfen. Das hat aber wenig damit zu tun maximal viele Punkte in diesem Spiel zu holen...

Cyrix
Maich
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 01.06.2008
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 20:26:33    Titel:

Hallo zusammen!



Würfelspiel von „Schlag den Raab“


Erwarteter durchschnittlicher Punktgewinn pro Wurf

1. bei 0 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 = 15/6 = 2.5

2. bei 1 Punkt auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 1 x 1/6 = 14/6 = 2.333

3. bei 2 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 2 x 1/6 = 13/6 = 2.167

4. bei 3 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 3 x 1/6 = 12/6 = 2

...

14. bei 14 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 14 x 1/6 = 1/6 = 0.167

15. bei 15 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 15 x 1/6 = 0/6 = 0

16. bei 16 Punkten auf dem "vakanten" Konto:
(1+2+3+4+5+0) / 6 - 16 x 1/6 = -1/6 = -0.167

...



x bedeutet multiplizieren. Das "vakante Konto" stellt die erwürfelten Punkte dar, die durch einen Zusatzwurf gesetzt werden können und mit der 6 komplett verloren gehen. Den ersten Teil der Rechnung vor dem Minus-Zeichen bezeichne ich als „durchschnittlichen Gewinn im Gewinnfall“ (addierte mögliche Punktzahlen geteilt durch die Würfelseiten), den zweiten als „Verlust im Verlustfall“ (Punkte auf dem "vakanten Konto" multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine 6 gewürfelt wird, die zum Verlust führt).

Dargestellt ist der exakte erwartete Punktgewinn pro Wurf (einige der dezimalen Endergebnisse sind gerundet). Das bedeutet, dass man in einem nach oben hin offenen Spiel bei spätestens sechzehn Punkten aufhören sollte. Bei fünfzehn Punkten entspricht der „durchschnittliche Gewinn im Gewinnfall“ dem „Verlust im Verlustfall“. Es ist also entscheidend, ob man in diesem Moment eine hohe statistische Varianz bevorzugt oder nicht (je mehr Punkte sich bereits auf dem gesicherten Konto befinden, desto kleiner ist diese Varianz). Bei 14 sollte man dementsprechend weiter spielen.


Wenn man dieses Spiel bis hin zu 50 Punkten oder mehr (wie bei Schlag den Raab) oder mit einer anderen Begrenzung spielt, dann fließen zusätzliche Faktoren mit in die Entscheidungsfindung ein:

1. Der Abstand bis zum Spielende (bis zu 50 Punkten)
2. Der Punkteabstand zum Gegner
3. Der Ansatz, ein Endergebnis von deutlich über 50 zu erzielen
4. Das Aufholen, wenn der Gegner die Partie für sich abgeschlossen hat
(eine einfache Entscheidung)
5. Die Einschätzung der gegnerischen Strategie




Liebe Grüße


Zuletzt bearbeitet von Maich am 03 Jun 2008 - 06:27:00, insgesamt einmal bearbeitet
Maich
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 01.06.2008
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 21:25:57    Titel:

-----------

Zuletzt bearbeitet von Maich am 01 Jul 2008 - 06:38:56, insgesamt 3-mal bearbeitet
nico123
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 224

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 23:02:25    Titel:

M45T4 hat folgendes geschrieben:
cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Wenn ich also in der Runde bisher P Punkte erspielt habe, werde ich im Schnitt mit einem weiteren Wurf 2,5-P/6 Punkte auf meinem Punktekonto haben. (Man kann sich das Ganze auch so "erklären": Je mehr Punkte ich habe, desto mehr habe ich zu verlieren.)


Damit bin ich nicht einverstanden. Einmal bezeichnet 'P' den bisherigen, gesicherten Punktestand und einmal die Summe der gewürfelten Augenzahlen pro Würfelserie (aber in nur einem Zug..) oder wat? Smile

mfG

ps: Warum genügt es nicht (5/6)^x > 0,5 zu betrachten.. ? ist doch jut.


Mit P meint Cyrix die erwürfelten Punkte in der Runde. Nicht die, die schon sicher auf dem Konto liegen!
Wie oben schon ausführlich geschrieben ist, muss man sich überlegen, was man gewinnen kann und (wichtig!) wieviel man verlieren kann. Die Anzahl der Würfe ist nicht entscheidend.
p:')
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.01.2007
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2008 - 00:22:48    Titel:

ok, dann lasst uns mal das spiel modifizieren:

die beiden gegner sitzen in vom andern nicht einsehbaren kabinen, und die aufgabe lautet, so oft wie möglich zu würfeln - ohne eine sechs zu bekommen. wer eine sechs würfelt, kriegt null punkte, ansonsten wird gezählt, wie häufig man würfeln konnte.


nun sind die punkte raus aus dem spiel, und ich steh wieder vor meinem problem: wie häufig soll ich würfeln, um möglichst gute chancen zu haben?


ansonsten: vielen dank für die antworten. ich bin wieder etwas erhellt... (aber nur etwas)

zu den spielständen:
mögliche spielstände müssen in der summe eine dreieckszahl sein, wobei das in der summe maximal 120 sein darf und auch sonst nicht alle kombinationen, deren summe eine dreieckszahl ist, möglich sind. 76:2 z.b. kann es nicht geben, da das spiel schon vorher gewonnen wurde.

55:0, 54:1, 53:2, 52:3, 51:4 sind mögliche matchballstände nach der 10. runde, 60:6 ... 50:16 sind matchballspielstände nach der 11. runde. runde 12: 60:18 ... 49:29. runde 13: 60:31 ... 48:43. da wird ja so langsam ein muster erkennbar. kriegt das jemand formalisiert?
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schlag den Raab
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite Zurück  1, 2, 3  Weiter
Seite 2 von 3

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum