Kombinatorik

Gast · Verfasst am: 07 Apr 2005 - 14:56:27 Titel: Kombinatorik

Hallo,
ersuche um Hilfe bei folgender Aufgabe:
n Paare gehen zu einer Tanzveranstaltung.
Nun werden die Männer den Frauen zufällig zugeordnet (oder umgekehrt).
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkiet, daß kein Mann mit seiner Frau tanzt?

Rulli · Verfasst am: 07 Apr 2005 - 16:30:42 Titel:

eine möglichkeit die aufgabe zu sehn ist folgende:
schreibe alle männer und frauen hin:
f1 f2 f3 ... fn
m1 m2 m3... mn

das zufällige zuordnen wäre nun einfach nun das vertauschen der männer.
das ergibt dir die anzahl der möglichen permutationen von n elementen, n!.
die gesuchte warscheinlichkeit ist also 1/n!

Andromeda · Verfasst am: 07 Apr 2005 - 17:30:15 Titel:

Ingobar · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.02.2005 Beiträge: 369

Analog zum Würfeln mit zwei Würfeln, wobei n die Anzahl der Seitenflächen ist gilt:

Insgesamt gibt es n^2 Möglichkeiten

(1,1)...(1,6)
...
(6,1)...(6,6)

Bei gleichem Index tanzen Ehepartner zusammen, daher muss ich die rausnehmen. Somit bleiben n^2-n. Des Weiteren muss ich Permutationsgleiche wie (1,6) (6,1) rausnehmen, also (n^2-n)/2! = (n^2-n)/2.

Jetzt über das Gegenereignis:
1-n/((n^2-n)/2) = 1-2n/(n^2-n) = 1-2/(n-1)

Probe: Bei 3 Ehepaare wäre das also 1-2/2 = 0 Crying or Very sad

Das war ja dann wohl nichts.

Hat vielleicht jemand eine bessere Idee? Ich denke solange weiter darüber nach.

So, neuer Versuch:

Ziehen aus zwei Urnen: Für den ersten Mann gibt es n Möglichkeiten. Die Partnerin kann dann aus n-1=9 Möglichkeiten gezogen werden. Also insgesamt 10*9 Möglichkeiten für das erste Paar. Und immer so weiter. Also bei beispielsweise n=4 Paaren:

4*3 + 3*2 + 2*1 = 20.

Da es vier Paare waren ist die Wahrscheinlichkeit: 1-4/20 = 4/5 = 80%

Bei 3 Paaren: 3*2 + 2*1 = 8 und damit 1-3/8 = 5/8 = 62,5%

Bei 5en: 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1 = 40 => 1-5/40 = 7/8 = 87,5%

Dennoch bin ich mir nicht sicher, ob das richtig ist, da ich ja noch die Reihenfolge der Paarenstehung berücksichtige. Bei 4 Paaren wäre ja folgendes gleich: (mf)

(12)(23)(34)(41) = (41)(12)(23)(34)

Wenn ich jetzt aber 20 noch durch 4! teile, komt 20/24<1 raus. Es gibt dann gar kein Paar mehr Shocked

++++++++ · Gast

Ich kann die Aufgabe umformulieren, aber nicht lösen. Sad

Wie Rulli und Andromeda schon angefangen haben,
gibt es n! Permutationen für die Reihe

1 2 3 4 5 ... n

Wie viele Möglichkeiten C gibt es, wenn keine Zahl an ihrer eigenen Stelle steht?

Dann ist die Warscheinlichkeit einfach P=C/n!

Ingobar · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.02.2005 Beiträge: 369

Andromeda · Verfasst am: 07 Apr 2005 - 22:52:51 Titel:

Ingobar · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.02.2005 Beiträge: 369

Ich habs jetzt über ein anderes Forum bekommen:

matheraum.de

ingobar