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Kombinatorik
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Gast







BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 13:56:27    Titel: Kombinatorik

Hallo,
ersuche um Hilfe bei folgender Aufgabe:
n Paare gehen zu einer Tanzveranstaltung.
Nun werden die Männer den Frauen zufällig zugeordnet (oder umgekehrt).
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkiet, daß kein Mann mit seiner Frau tanzt?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 15:30:42    Titel:

eine möglichkeit die aufgabe zu sehn ist folgende:
schreibe alle männer und frauen hin:
f1 f2 f3 ... fn
m1 m2 m3... mn

das zufällige zuordnen wäre nun einfach nun das vertauschen der männer.
das ergibt dir die anzahl der möglichen permutationen von n elementen, n!.
die gesuchte warscheinlichkeit ist also 1/n!
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 16:30:15    Titel:

Rulli hat folgendes geschrieben:


das zufällige zuordnen wäre nun einfach nun das vertauschen der männer.
das ergibt dir die anzahl der möglichen permutationen von n elementen, n!.
die gesuchte warscheinlichkeit ist also 1/n!


Das ist recht einfach gedacht. Unter den n! Kombinationen gibt es eben mehr als nur 1 Kombination, bei der kein Mann mit seiner Frau tanzt. Bei 4 Paaren gibt es zwar 4! Kombinationen, darunter sind aber 9 Kombinationen, bei denen kein Mann mit seiner Frau tanzt.

Gruß
Andromeda
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 383

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 20:41:43    Titel:

Analog zum Würfeln mit zwei Würfeln, wobei n die Anzahl der Seitenflächen ist gilt:

Insgesamt gibt es n^2 Möglichkeiten

(1,1)...(1,6)
...
(6,1)...(6,6)

Bei gleichem Index tanzen Ehepartner zusammen, daher muss ich die rausnehmen. Somit bleiben n^2-n. Des Weiteren muss ich Permutationsgleiche wie (1,6) (6,1) rausnehmen, also (n^2-n)/2! = (n^2-n)/2.

Jetzt über das Gegenereignis:
1-n/((n^2-n)/2) = 1-2n/(n^2-n) = 1-2/(n-1)

Probe: Bei 3 Ehepaare wäre das also 1-2/2 = 0 Crying or Very sad Das war ja dann wohl nichts.

Hat vielleicht jemand eine bessere Idee? Ich denke solange weiter darüber nach.

So, neuer Versuch:

Ziehen aus zwei Urnen: Für den ersten Mann gibt es n Möglichkeiten. Die Partnerin kann dann aus n-1=9 Möglichkeiten gezogen werden. Also insgesamt 10*9 Möglichkeiten für das erste Paar. Und immer so weiter. Also bei beispielsweise n=4 Paaren:

4*3 + 3*2 + 2*1 = 20.

Da es vier Paare waren ist die Wahrscheinlichkeit: 1-4/20 = 4/5 = 80%

Bei 3 Paaren: 3*2 + 2*1 = 8 und damit 1-3/8 = 5/8 = 62,5%

Bei 5en: 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1 = 40 => 1-5/40 = 7/8 = 87,5%

Dennoch bin ich mir nicht sicher, ob das richtig ist, da ich ja noch die Reihenfolge der Paarenstehung berücksichtige. Bei 4 Paaren wäre ja folgendes gleich: (mf)

(12)(23)(34)(41) = (41)(12)(23)(34)

Wenn ich jetzt aber 20 noch durch 4! teile, komt 20/24<1 raus. Es gibt dann gar kein Paar mehr Shocked


Zuletzt bearbeitet von Ingobar am 07 Apr 2005 - 21:36:23, insgesamt einmal bearbeitet
++++++++
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 21:26:07    Titel:

Ich kann die Aufgabe umformulieren, aber nicht lösen. Sad

Wie Rulli und Andromeda schon angefangen haben,
gibt es n! Permutationen für die Reihe

1 2 3 4 5 ... n

Wie viele Möglichkeiten C gibt es, wenn keine Zahl an ihrer eigenen Stelle steht?

Dann ist die Warscheinlichkeit einfach P=C/n!
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 383

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 21:41:29    Titel:

++++++++ hat folgendes geschrieben:

1 2 3 4 5 ... n

Wie viele Möglichkeiten C gibt es, wenn keine Zahl an ihrer eigenen Stelle steht?


Dann habe ich für den ersten Mann n-1 neue Position, seine eigene ist ja gesperrt, für den zweiten n-2, da seine eigene gesperrt ist und ein Platz bereits vergeben ist. Insgesamt also (n-1)!

Insgesamt n! und damit ist die Wahrscheinlichkeit von seinem Partner los zu zu kommen: (n-1)!/n! = 1/n Was ein bisschen wenig ist. Confused
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 21:52:51    Titel:

Ingobar hat folgendes geschrieben:


Dann habe ich für den ersten Mann n-1 neue Position, seine eigene ist ja gesperrt, für den zweiten n-2, da seine eigene gesperrt ist und ein Platz bereits vergeben ist. Insgesamt also (n-1)!


Hier geht's schon mal los. Falls der 1. Mann die Frau des 2. Mannes hat, dann bleiben für den 2. Mann nicht (n-2) sondern (n-1) Möglichkeiten.

Gruß
Andromeda
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 383

BeitragVerfasst am: 08 Apr 2005 - 14:18:29    Titel:

Ich habs jetzt über ein anderes Forum bekommen:


matheraum.de

ingobar
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