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Was hat U mit dem Bild von A zu tun?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Was hat U mit dem Bild von A zu tun?
 
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ptit-soleil
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Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 372

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 09:41:09    Titel: Was hat U mit dem Bild von A zu tun?

Hallo!
Ich habe gegeben
A= (1 2 3)
(-1 1 0)
(1 1 2)

Und U= L((1,-1,1), (2,1,1), (3,0,2) in R³.

Und jetzt ist die Frage "was hat U mit dem Bild von A zu tun?"
Wie komme ich überhaupt auf das Bild?
Danke schonmal!!!
lg
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 10:13:02    Titel:

Ich nehme an, die Matrix soll die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung K -> IR^3 sein, wobei K der von den drei Vektoren aufgespannte Untervektorraum des IR^3 ist?


Bild(A) = {x | ∃ z ∈ K, A * z = x}

Nun laesst sich jedes z als Summe von Linearfaktoren aufschreiben:
z = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3 [e1, e2, e3 seinen Basisvektoren]

Somit haben wir folgende Definition:
Bild(A) = {x | ∃ z ∈ K, A * z = x} = {x | ∃ z ∈ K, a1 * A * e1 + a2 * A * e2 + a3 * A * e3 = x} = {x | ∃ a1, a2, a2 &#8712 ;IR, a1 * k1 + a2 * k2 + a3 * k3 = x} mit A * e1 = k1, A * e2 = k2 und A * e3 = k3. Das Bild wird also von den Bildern der Basisvektoren aufgespannt, somit kannst du es recht einfach bestimmen Wink
ptit-soleil
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Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 372

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 10:46:01    Titel:

Das ist superlieb, dass du dir so viel Mühe machst, aber ganz ehrlich, ich versteh davon so gut wie nichts.
Also das Bild setzt sich aus den Bildern der Basisvektoren zusammen, ja?
Aber wie komme ich denn auf die Bilder der Basisvektoren?
DANKE!
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 10:50:22    Titel:

Nenne doch mal bitte die Stellen, die du nicht verstehst Wink
ptit-soleil
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Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 372

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 11:00:25    Titel:

Ok,
also was ist K?
Was heißt das I vor R³?
sind e1, e2 , e3 die kanonischen Basisvektoren?
Und wenn nein, wie kommst du auf die?
Und wie berechnet man dann die Bilder der Basisvektoren?
nochmal danke für deine Mühe!
lg
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 11:08:31    Titel:

Zitat:
also was ist K?

K ist der Untervektorraum des IR^3, welcher durch die angegebenen Vektoren aufgespannt wird.

Zitat:
Was heißt das I vor R³?
"IR" soll als ganzes angesehen werden und steht fuer die Menge der Reellen Zahlen.

Zitat:
sind e1, e2 , e3 die kanonischen Basisvektoren?

Nein, es sollen beliebige Vektoren sein, die einen (Unter)Vektorraum aufspannen. Zugegeben, die Wahl von e als Buchstaben war schlecht :/

Zitat:
Und wenn nein, wie kommst du auf die?

Die hast du selber angegeben Wink
Die Vektoren sind nicht zudem linear unabhaengig, bilden als keine Basis. Du ersparst dir Arbeit, wenn du vorher einen rausnimmst.

Zitat:
Und wie berechnet man dann die Bilder der Basisvektoren?

Mit dem Bild des Vektoren ist der zugehoerige Funktionswert gemeint.
ptit-soleil
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Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 372

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 11:17:02    Titel:

ok, danke! Also ich nehme einen raus, also meinetwegen e3 und hab dann noch e1 und e2. Das sind dann die Basisvektoren?
Und was meinst du mit Funktionswert?
Ist das e1*A und e2*A?
Und diese Werte bilden dann das Bild von A?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 11:24:45    Titel:

e1 und e2 bilden eine Basis und spannen auch den gleichen Untervektorraum auf wie e1, e2 und e3. A * x ist das Bild von x, die Bilder von e1 und e2 sind die Vektoren, die das Bild von A aufspannen.
ptit-soleil
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Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 372

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 21:20:48    Titel:

oh mann, jetzt wo ich mich damit beschäftigt habe, ist dein erster Beitrag auch total logisch auf einmal:)
Ich habe jetzt für das Bild von A
a1(2,-2,2)+a2(7,-1,5)+a3(9,-3,7) raus. Stimmt das? Oder schreibe ich das einfach als L((2,-2,2),(7,-1,5),(9,-3,7))?
Ganz ganz lieben Dank nochmal!!
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 21:40:58    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:

K ist der Untervektorraum des IR^3, welcher durch die angegebenen Vektoren aufgespannt wird.


K ist ein leicht irreführender Name, denn mit K wird (im deutschsprachigem Raum) oft ein Körper bezeichnet. Im Zusammenhang mit der lin. Algebra ist damit normalerweise der zugrunde liegende Körper gemeint.

Gruss
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