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Berechnung komplexer Amplituden aller Ströme
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Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Berechnung komplexer Amplituden aller Ströme
 
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ebt'ler
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Anmeldungsdatum: 24.04.2008
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 20:00:45    Titel:

@Martin67

und schon wieder ein Doppelpost, dieses mal war ich zwar 48sek. schnell aber dafür ist deine Antwort mal wieder besser und präziser.
abraxax1984
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Anmeldungsdatum: 16.07.2008
Beiträge: 9
Wohnort: St. Wendel

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2008 - 00:34:40    Titel:

hab das jetzt mal nachgerechnet. Sieht soweit gut aus. Hab den Fehler gemacht das ich geometrisch addiert hab. Vielen vielen dank für die schnelle Hilfe.

Noch eine Frage. Ich müsst doch jetzt normal noch die Amplitudenwerte der Ströme und der Urspannungsquelle berechnen. Das wäre dann doch jeweils:

Iamp = I * Wurzel 2 bzw
Uamp = U * Wurzel 2

Oder sind die berechneten Werte die Amplituden und ich muss umgekehrt nur noch die effektivspannng berechnen?
Müsste ja eiegntlich Effektivwerte berechnet haben
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2008 - 05:40:56    Titel:

Hallo,

abraxax1984 hat folgendes geschrieben:

Noch eine Frage. Ich müsst doch jetzt normal noch die Amplitudenwerte der Ströme und der Urspannungsquelle berechnen. Das wäre dann doch jeweils:

Iamp = I * Wurzel 2 bzw
Uamp = U * Wurzel 2

Oder sind die berechneten Werte die Amplituden und ich muss umgekehrt nur noch die effektivspannng berechnen?
Müsste ja eiegntlich Effektivwerte berechnet haben


wie bereits oben erwähnt, ist das Abhängig, von der Angabe der Blindleistung. Ist diese (so wie ich vermute), die effektive Blindleistung, also nicht die Spitzenleistung, so handelt es sich um Effektivwerte. Den Betrag der Spitzenwerte erhälst Du dann mit der Multiplikation von SQRT(2)
Um jedoch die Spitzenwerte vollständig zu beschreiben, kannst Du sie als Funktion ausdrücken: z.B. SIN(wt + alpha)*Spitzenwert_Betrag

Da hier im Forum bei einigen Usern, starkes Interesse an der komplexen Mathematik mit Excel besteht, habe ich diese Aufgabe nochmal in ein Excelsheet gepackt. Nicht vergessen, die Analyse-Funktionen bei den Add-Ins zu aktivieren.

http://www.file-upload.net/download-984141/Komplex.xls.html
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2008 - 13:51:20    Titel: Übereinstimmung.

Richtig, abraxax1984, die Spulenlänge und der Raduis sind fies (Verwirrung stiftend), denn die Induktivität ist bereits gegeben
{evtl. heisst ein 2. Teil der Aufgabe "Berechnen Sie die Windungszahl N einer entprechenden Luftspule"}.

Grössen (zunächst werden die drei Ströme I, Il und Ic gesucht):
↓ Uq: Spannung der idealen Spannungsquelle, uq(t) = Û·cos(ω·t+φq).
↑ Iq: Strom durch die ideale Quelle, identisch mit → I1 (Strom durch Widerstand R1).
→ U1 Spannung über ohmschem Widerstand R1.
↓ Ul Spannung über Induktivität L.
↓ Il Strom durch Induktivität L, identisch mit ↓ I2 (Strom durch Widerstand R2).
↓ U2 Spannung über ohmschem Widerstand R2.
↓ Uc Spannung über Kapazität C.
↓ Ic Strom durch Kapazität C.

Zwei Maschen (links im Uhrzeigersinn, rechts nicht) und ein Knoten (rechts oben) liefern das LGS [; \begin{bmatrix}R_1&R_2+\mathrm{j}\cdot\omega\cdot L&0\\0 & R_2+\mathrm{j}\cdot\omega\cdot L&-\frac{1}{\mathrm{j}\cdot\omega\cdot C}\\1&-1&-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}I_q\\I_l\\I_c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}U_q\\0\\0\end{bmatrix};] mit Matrix [; M ;] links.
Die Determinante der Matrix [; M ;] ist [;\Delta = \det(M) = -R_1\cdot R_2-\frac{L}{C} +\mathrm{j}\cdot\left (\frac{R_1+R_2}{\omega \cdot C}-\omega\cdot R_1\cdot L \right ) ;].
Die adjunkte Matrix [; A = \mathrm{adj}(M) ;] kann gemäss [; \mathrm{adj} (\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}\begin{vmatrix}1&b\\0&d\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&b\\1&d\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}a&1\\c&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}a&0\\c&1\end{vmatrix}\end{bmatrix};] durch Einsetzen von Spalten der Einheitsmatrix in Determinanten berechnet werden.
Mit den beiden Abkürzungen [; z_2 = R_2 + \mathrm{j}\cdot\omega\cdot L ;] und [; z_c = -\frac{1}{\mathrm{j}\cdot\omega\cdot C} ;] lautet die Adjunkte [; A = \begin{bmatrix} \begin{vmatrix}1&z_2&0\\0&z_2&z_c\\0&-1&-1\end{vmatrix}&a_{12}&a_{13}\\\begin{vmatrix}R_1&1&0\\0&0&z_c\\1&0&-1\end{vmatrix}&a_{22}&a_{23}\\\begin{vmatrix}R_1&z_2&1\\0&z_2&0\\1&-1&0\end{vmatrix}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix};], wobei die linke Spalte der Einheitsmatrix eingesetzt wurde (es werden hier nur die Impedanzen [; a_{11}, a_{21}, a_{31} ;] aus der linken Spalte benötigt).

Auswertung der Determinanten (z. B. mittels der Regel von Sarrus) ergibt [; A = \begin{bmatrix} -R_2+\mathrm{j}\cdot\left(\frac{1}{\omega\cdot C}- \omega\cdot L\right)&a_{12}&a_{13}\\ \frac{\mathrm{j}}{\omega\cdot C}&a_{22}&a_{23}\\-R_2-\mathrm{j}\cdot\omega \cdot L&a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} ;] (s. a. Cramer'sche Regel).

Die Inverse ist [; M^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot A;].
Multiplikation des LGS mit der Inversen von links her ergibt [; \begin{bmatrix}I_q\\I_l\\I_c\end{bmatrix} = \frac{1}{\Delta} \cdot A \cdot \begin{bmatrix}U_q\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{a_{11}}{\Delta}\cdot U_q\\\frac{a_{21}}{\Delta}\cdot U_q\\\frac{a_{31}}{\Delta}\cdot U_q\end{bmatrix} ;].

Ideale Spannungsquelle: [; u_q(t) = \mathrm{Re}[\hat{U}_q\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot(\omega\cdot t+\varphi_q)}] = \hat{U}_q\cdot cos(\omega \cdot t+\varphi_q) ;] mit Kreisfrequenz [; \omega = 2 \cdot\pi\cdot 50 \mathrm{s}^{-1} ;]. Die Spannungsquelle wird mit der komplexen Amplitude [; U_q = \hat{U}_q \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\cdot\varphi_q} ;] beschrieben.
Ohmsche Widerstände: [; R_1 = 100 \mathrm{\Omega} ;] und [; R_2 = 125 \mathrm{\Omega} ;], Induktivität: [; L = 700.3 \mathrm{mH} ;], Kapazität: [; C = 4.7 \mathrm{\mu F} ;].

Es wird die Blindleistung für die Induktivität vorgegeben.
Sofern für die L-Blindleistung [; Q = \left|\frac{U_l}{\sqrt{2}}\cdot \frac{I_l}{\sqrt{2}}\right| ;] (Betrag des Produkts der komplexen Strom -und Spannungs -Effektivwerte) gilt (denn für eine Induktiivität gibt es nur Blindleistung),
dann erhält man [; Q = \frac{1}{2} \cdot \omega\cdot L\cdot \left|\frac{a_{21}^2}{\Delta^2}\right| \cdot \hat{U}_q ;] und damit .

Der Nulldurchgang von [; U_2 ;] ist 0 Grad, d. h. [; \arg(I_l) = -\frac{\pi}{2} ;] {das ist wegen [; cos(\omega \cdot t - \frac{\pi}{2}) = sin (\omega\cdot t) ;]}.
Es folgt [; \arg(\frac{a_{21}}{D} \cdot U_q ) = -\frac{\pi}{2} ;], daher [; \arg(\frac{a_{21}}{D}) + \overbrace{\arg(U_q)}^{\varphi_q} = -\frac{\pi}{2} ;]
und damit [; \varphi_q = -\frac{\pi}{2} -\arg(\frac{a_{21}}{D}) = -38.9145 \cdots^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ};] {wegen cos()-Bezugssystem 90° weniger als der von Martin67 berechnete Winkel}.

Damit ist [; U_q = \hat{U}_q \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \varphi_q} ;] bestimmt, und die restlichen komplexen Ströme und Spannungen sind der Berechnung zugänglich.


Die Ströme sind
[; I_q = \frac{-R_2+\mathrm{j}\cdot\left(\frac{1}{\omega\cdot C}- \omega\cdot L\right)}{\Delta} \cdot U_q = 0.79186\cdots \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 74.7104\cdots^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{A};],
[; I_l = \frac{\mathrm{j}}{\omega\cdot C\cdot\Delta} \cdot U_q = 1.1313\cdots \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{A};] und
[; I_c = \frac{-R_2-\mathrm{j}\cdot\omega \cdot L}{\Delta} \cdot U_q = 0.42269\cdots \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 60.3961\cdots^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{A};].

Die Spannungen sind
[; U_1 = R_1 \cdot I_q = 79.186\cdots \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 74.7104\cdots^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{V};],
[; U_2 = R_2 \cdot I_l = 141.419\cdots \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{V};],
[; U_l = \mathrm{j}\cdot\omega \cdot L\cdot I_l = 248.904\cdots \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 0^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{V};] und
[; U_c = \frac{1}{\mathrm{j}\cdot\omega \cdot C} \cdot I_c = 286.274\cdots \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 29.6038\dots^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}} \mathrm{V};].

° Es wird davon ausgegangen, dass die gegebene Blindleistung die mittlere ist (entsprechend Martin67s blauer Anmerkung).
° Liegt ein sin()-Bezugssystem zugrunde, sind zu den Strom-und Spannungs-Phasen 90° zu addieren.
Die Resultate sind mit denen von Martin67 konsistent und erfüllen die Maschen-und Knoten-Gleichungen.

Einzig
Zitat:
0,8A passen aus meiner Sicht
kann ich nicht nachvollziehen, weil Martin67 alle Spannungen und Ströme als Effektivwerte angegeben hat, aber diese 0.8 A, sofern es sich um |Iq| handelt, entsprechen der Amplitude Îq.

---
Falls die Spule eine Kupfer-Luftspule ist und [; R_2 ;] den ohmschen Widerstand des Kupfers darstellt, dann kann mit den zusätzlich gegebenen Geometriedaten der Radius des verwendeten Kupferdrahtes berechnet werden.

Induktivität einer Zylinderspule
[; L = N^2\cdot\frac{\mu_0\cdot r^2\cdot \pi}{l} \ \rightarrow N = \frac{\sqrt{l\cdot L}}{r\cdot\sqrt{\mu_0\cdot\pi}} = 8754.95\cdots ;] (Anzahl Windungen)
[; l_{Cu} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot N = 2 \cdot \sqrt{\frac{l \cdot L \cdot \pi}{\mu_0}} = 990.16\cdots \mathrm{m};] (Drahtlänge)

[; \rho_{Cu} = 1.78 \cdot 10^{-8} \mathrm{\Omega}\cdot\mathrm{m} ;] (spezifischer Widerstand)
[; R_2 = \rho_{Cu} \cdot \frac{l_{Cu}}{r_{Cu}^2\cdot\pi} \ \rightarrow r_{Cu} = \sqrt {\rho_{Cu} \cdot \frac{l_{Cu}}{R_2\cdot\pi}} = \sqrt{2\cdot\frac{\rho_{Cu}}{R_2}\cdot\sqrt{\frac{l\cdot L}{\mu_0\cdot\pi}}} = 0.21185\cdots\cdot10^{-3} \mathrm{m};] (Draht-Radius)

Da mehr als 26 Windungs-Schichten benötigt werden, erscheint eine solche Luftspule (wegen grössenordnungsmässig 12 mm Schichten-"Höhe" bei 18 mm {mittlerem} Spulen-Raduis) eher unrealistisch.
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