Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Bogenlänge bestimmen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Bogenlänge bestimmen
 
Autor Nachricht
DrSnuggles
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 14.04.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2005 - 10:50:11    Titel: Bogenlänge bestimmen

Hallo obwohl Mathe 1 grade mal 3 Monate her ist komme ich bei der Berechnung der Bogenlänge eines Integrals nicht weiter: Question

Bogenlänge = Integral von a bis b ( Wurzel(1+f'²)dx

Meine Funktion ist der ln(x) als habe ich zu integrieren:
Integral von a bis b ( Wurzel(1+(1/x²))dx

eigentlich sieht das ja ganz übersichtlich aus aber ich komme irgendwie nicht zum Ergebnis.

Kann mir da mal jemand am Sonnat Morgen unter die Arme greifen?

Danke!!

Achim
nOOOb
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 21:00:18    Titel:

Hallöchen,

(a^2 = A-Quadrat)
(a^0.5 = Wurzel A)
(I(m,n,f(x)) = Integral f(x) in den Grenzen m bis n)

f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x

ges. I(a,b,(1+(f'(x))^2)^0.5)

substituiere:
1+x^2 = u^2
x=(u^2 -1)^0.5
dx=u du/(u^2 -1)^0.5

(Grenzen noch abändern!!)
(c,d neue Grenzen)

=>

I(c,d,u/(u^2 -1)^0.5 * u du/(u^2 -1)^0.5)
=
I(c,d,u^2 / u^2 -1 du)
=
I(c,d,1 + (1/u^2 -1) du)
=
I(c,d, 1 + 1/2 [(1/u-1) - (1/u+1)] du)
=
u + 1/2 ln |(u-1)/(u+1)| (in den Grenzen c,d)

und FERTIG Smile

(hoffentlich ohne tippppfäler) Laughing
nOOOb
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 21:24:22    Titel:

Nur damit jetzt keiner nachschlägt wegen Substitution o.ä.:

Methode 1: Grenzen ersetzen

kannst natürlich auch

Methode 2: Rücksubstitution

nehmen.

1)
1+x^2 = u^2
Grenze c erhältst du, wenn du deine Grenze a in die Gleichung für x einsetzt:
1+a^2 = c^2 => c = (1+a^2)^0.5
(Rest analog)

2)
einfach in der Stammfunktion u ersetzen
u^2 = 1+x^2 => u =(1+x^2)^0.5
=>
(1+x^2)^0.5 + 0.5 * ln |((1+x^2)^0.5 -1)/((1+x^2)^0.5 +1) | <-(| ... | = Betrag)

Hoffe ich konnte helfen Mr. Green
Andromeda
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 23:05:42    Titel:

nOOOb hat folgendes geschrieben:

(1+x^2)^0.5 + 0.5 * ln |((1+x^2)^0.5 -1)/((1+x^2)^0.5 +1) | <-(| ... | = Betrag)


Das stimmt nicht ganz. Für negative x muss die Funktion mit -1 multipliziert werden.

Gruß
Andromeda
nOOOb
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 23:40:42    Titel:

negative x gehören doch garnicht mit dazu oda?
DrSnuggles
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 14.04.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 07:38:33    Titel:

genau, ln und negativ passt ja nicht
Andromeda
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 08:39:36    Titel:

Stimmt natürlich, habe den ln übersehen und nur das Integral mit der Wurzelfunktion betrachtet.

Sorry, mein Fehler.

Gruß
Andromeda
nOOOb
Gast






BeitragVerfasst am: 22 Apr 2005 - 09:56:07    Titel:

Smile

hallöle, habs letztens woanders noch gepostet, daher noch ein anderer ansatz:

wenn wir hier weitermachen würden:
I(c,d,1 + (1/u^2 -1) du)

=> I(c,d,1 du) + I(c,d,1/u^2 -1 du)

=> I(c,d,1 du) + I(c,d,(-1)* 1/1-u^2 du)

=> I(c,d,1 du) - I(c,d, 1/1-u^2 du)

=> u - arcoth(u) (da u ja immer grösser 1)

jetzt könnte man halt wieder rücksubst...... (bla bla) Rolling Eyes

---------------------------------------
* (ist es richtig ?) *
* (->hilft es weiter?) *
* (->->kannst damit umgehen?) *
* (->->->na dann benutz es!) *
---------------------------------------
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Bogenlänge bestimmen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum