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Wurzeln aus komplexen Zahlen
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Simon1
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Anmeldungsdatum: 11.03.2008
Beiträge: 123

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 23:51:16    Titel: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Aufgabe:

4.wurzel aus( -½- (wurzel(3)/2)i)

bzw.

[; 4\sqrt{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i} ;]


-------

da gibt es ja so eine schöne Formel für wo ich dann mit k=0,1,2,3 4 Lösungen raus kriege.

vor der Klammer mit den Winkelfunktionen steht ja die n-te wurzel von Betrag z.
Das ist in diesem Fall 1, oder?

dann ist in der Klammer ein Winkel? Muss ich den aus dem imaginärteil und reel-Teil von der Zahl (den ich auch für den Betrag genommen habe) errechnen?
Eine Freundin die bei einer anderen Matheübung an der Uni war meine ja und unser Übungsleiter als Winkel kann man weil das der Startwinkel sei immer 0 nehmen.

Das hat mich etwas verwirrt jetzt. Schreibe morgen abend eine Klausur oO

Das ist ja eine wichtige Frage weil man unterschiedliche Ergebnisse heraus bekommt.

Mit dem Winkel = 0 komme ich auf das Ergebnis

z1= 1
z2=i
z3=-1
z4=-i

Stimmt das??


Zuletzt bearbeitet von Simon1 am 10 Nov 2008 - 00:01:29, insgesamt einmal bearbeitet
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 23:58:20    Titel:

Hallo Simon,

Fragen lassen sich leichter beantworten, wenn sie klar gestellt sind.

"Es gibt da so eine Formel, und was ist da mit den Winkeln": Vielleicht ist es besser, wenn Du die Formel dann auch angibst, oder sollen wir raten, welche Formel Du wohl meinst?

Und dann liest sich eine Frage auch besser, wenn der Fragesteller ein wenig auf Grammatik und Orthographie achtet.

Was ich von Deiner Aufgabe nun verstanden habe (oder auch nicht), dazu folgende Tips:
- Ja, bei dieser Zahl ist der Betrag 1.
- Male Dir die Zahl einfach mal auf der Gaußschen Ebene auf. Dann wird Dir auch klar, wo Du den Polarwinkel suchen mußt. Null ist er hier nicht. Wie kommst Du darauf?

Gruß, mike
Simon1
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Anmeldungsdatum: 11.03.2008
Beiträge: 123

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 00:35:25    Titel:

Hallo Mike,

sorry. Ist nun mal schon etwas spät :/
Deswegen habe ich auch nicht die Zeit mich jetzt weiter mit diesem Code für Formeln zu beschäftigen - das hat vorhin schon lange genug gedauert. Ihr/du werdet also noch etwas mit normalen Zeichen euch rumschlagen müssen. Das werde ich aber nachholen - versprochen!

Ich meinte die folgende Formel:

w(k) = n.Wurzel(Betrag z) * (cos (2 * K * pi /n) + i * sin (2 * K *pi / n ))

K=0,1,2,...n-1

Der Winkel ist doch normalerweise zwischen der x-Achse und der Verbindung vom Ursprung zu dem Punkt (a,b) gegen den Uhrzeigersinn.

Also gilt:

tan alpha = Gegenkathete / Ankathete = Im(z) / Re(z)

Und in diesem Fall ist:
Re(z) = -1 / 2
Im(z) =- wurzel(3) / 2

Korrekt?

Ich komme auf die 0 weil der Übungsleiter bei uns meinte das wäre "immer 0".
Das galt vermutlich nur bei der Lösung der Gleichung x^5 = 1

Vielen Dank für deine Hilfe!

Simon
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 08:59:01    Titel:

Zitat:
Re(z) = -1 / 2
Im(z) =- wurzel(3) / 2


Das ist korrekt. Aber es ist noch nicht der Winkel. Und den brauchst du ja, um dann die Wurzel zu ziehen.

Der Winkel ist nur 0 bei Zahlen, die keinen imaginären Anteil haben, m. a. w. bei reellen Zahlen. Bei x^5 = 1 ist das ja auch der Fall.

Gruß, mike
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 09:22:41    Titel:

Du kannst die Lösungen einer Gleichung x² = c auch algebraisch ohne die trigonometrische/euler'sche Form ermitteln; man kommt dann auf:

u := wurzel((abs(c)+rea(c))/2)
v := wurzel((abs(c)-rea(c))/2)

{x | x² = c} = {u+vi, -u-vi}
Tessa_ß
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Anmeldungsdatum: 06.11.2008
Beiträge: 219
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 10:54:35    Titel: Re: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Simon1 hat folgendes geschrieben:

[; \sqrt[4]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i} ;]komme ich auf das Ergebnis

z1= 1
z2=i
z3=-1
z4=-i

Stimmt das??
Vielleicht habe ich Eure Diskussion nicht verstanden?

Ist es nicht so, dass obige Aufgabe auch so geschrieben werden kann:

[; z = \sqrt[4]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i} ;]

[; z^4 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i = 1\angle{-120^o} ;]

Und dann ist es doch ganz leicht:

[; z_{1..4} = 1\angle{-30^o+k*90^o} ;] ...mit k=0..3

Und das kann man leicht in der Gauß-Ebene aufzeichnen
(und so man will die x|y-Koordinaten für real|imaginär ablesen)
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