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Tangentengleichung
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Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 12:19:57    Titel:

für mich ist das alles klar, aber warum genau darf man für das m, also für die Steigung einfach f'(x) nehmen?? wenn ich davon ausgehe, dass der gegeben Punkt nicht auf dem Graphen der gegebenen Funktion liegt, dann würde ich ja mit f'(x) zwar den x-wert des gegeben Punktes berücksichtigen, aber nicht den y-wert. Mit f'(x) würde ich dann doch einfach die Steigung des Punktes auf dem Graphen errechnen, bei dem der x-wert gleich dem x-wert des gegeben punktes ist oder nicht??
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 18:45:07    Titel:

keiner eine antwort?? Sad
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 19:41:42    Titel:

Was ist dir an der Lösung von DMoshage nicht klar?

Wenn du an einen beliebigen Punkt (x,f(x)) eine Tangente anlegst, dann ist f'(x) deine Tangentensteigung für diese Tangente. Das ist erstmal nur die geometrische Interpretation der Ableitung.

Dabei ist dein Punkt, d.h. du hast die Steigung m=f'(u) deiner Tangente in Abhängigkeit von dem Punkt (u,f(u)) gegeben, an den du deine Tangente anlegst.

Nun soll die Tangente noch durch einen weiteren Punkt (a,b) gehen.

Allgemein ist die Gleichung einer Geraden y=mx+c.

m haben wir schon. Setzen wir a,b ein, erhalten wir
b=f'(u)a+c

Damit erhälst du
c=b-f'(u)a

y=f'(u)(x-a)+b

Das ist quasi die herleitung der tangentengleichung.

u ist dabei noch ein freier parameter.

Durch ableiten von f erhälst du die möglichen werte u, die diese gleichung für a,b erfüllen.
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 20:06:54    Titel:

der beliebige punkt soll aber nicht (x|f(x)) sein, was soviel bedeuet wie, dass der Punkt auf dem Graphen liegen würde, für den die Tangente gesucht wäre, sondern irgendwo beliebig im koordinatensystem. also ein beliebiger x-wert und ein beliebiger y-wert.
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 09:31:26    Titel:

hat dazu vieleicht auch jemand eine antwort?
curry
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Anmeldungsdatum: 19.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 19 Jul 2005 - 20:01:43    Titel: Tangentengl. für Tang. deren geg. Punkte außerh. Fkt.liegen

Eine Tangente ist eine Gerade, welche die Funktion f(x) in einem Punkt P(x_0/f(x_0)) berührt. Um eine Tangente aufzustellen berechnet man f(x_0) und die Ableitung f’(x0). Diese setzt man in die Tangentengleichung ein: Bei Tangenten, welche durch einen Punkt außerhalb der Funktion gehen setzt man den X- und Y-Wert des Punktes in die Tangentengleichung ein und löst nach x_0 auf. Anschließend setzt man x0 in die Tangentengleichung ein und erhält somit die Tangente.

Bsp.:
geg. sei die Funktion f(x)=x^3 und der Punkt P(2/0)
gesucht sind die Tangentenschnittpunkte

Kurzer TEX-Exkurs -> mit den Unterstrichen (Bsp. x_0) meine ich x mit Index 0, demnach ist x_0^2 x Index 0 Quadrat Wink verstanden?

1. Schritt
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Aufstellen der Tangentengleichung:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
eingesetzt sieht das so aus:
0=3x_0^2*(2-x_0)+x_0^3=6x_0^2-2x_0^3
0=x_^2*(6-2x_0) -> daraus lassen sich unsere beiden x_0 entnehmen, die 0 und 3 wären. 0 Streichen wir aber gleich mal wieder, weil Null als Wendepunkt von x^3 sicherlich nicht als Tangentenschnittpunkt in betracht kommt.
Wäre dann noch x_0=3 zu betrachten.

Schritt 2:
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Setzen wir das also wie schon oben in der allgemeinen Beschreibung wieder in die Tangentengleichung ein. Diesmal, weil wir wollen ja nicht 0=0 dastehen haben, die x und y Werte des Punktes nicht eintragen Smile
y=3*3^2*(x-3)+3^3
y=27x-54 -> Das ist die berühmt berüchtigte Tangentialgleichung die hier im Forum für so viel aufsehen gesorgt hat Smile

Schritt 3:
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und nun die Schnittpunkte mit f(x), wie bekommt man die? Ja, mit Gleichsetzen.
f(x)=t(x)
x^3=y=27x-54
daraus ergeben sich dann P_1(3/27) und P_2(-6/-216)

Viel Spaß noch beim Lernen
Gruß euer Curry!
=========
Mandarine
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Anmeldungsdatum: 20.07.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2005 - 19:24:33    Titel:

Hallo!
Kannst du deine Frage vielleicht noch einmal formulieren?

Aber wenn ich es richtig verstanden habe, dann liegt der Punkt einfach außerhalb der Funktion, durch den die Tangente, die dann an einem bestimmten Punkt der Funktion liegt, durch geht!
Wenn du mir deine Bedingungen nennst, dann kann ich dir zeigen, wie es geht!

PS: In welche Klasse gehst du?
curry
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Anmeldungsdatum: 19.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2005 - 21:32:28    Titel: Re Mandarine

Meinst du mit Frage wiederholen mich?

Mein Posting war keine Frage, sondern eine Antwort auf die schon oft gestellte Frage, wie man Tangentengleichungen ermittelt, bei denen der gegebene Punkt nicht auf der gegebenen Funktion liegt.

PS.: Ich studiere Wirtschaftsinformatik, bin also schon länger aus der Schule raus Wink
curry
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Anmeldungsdatum: 19.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2005 - 21:35:06    Titel: ?

Kleine Frage am Rande, habe ich so undeutlich geschrieben, dass mein Lösungsansatz den ich da extra noch in Schritte gegliedert habe als Frage ankommt? Wollte eigentlich damit erreichen, dass Schüler die damit ein Problem haben einen allgemeinen, leicht verständlichen Lösungsweg finden.
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2005 - 03:29:39    Titel: Die Threads wiederholen sich

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=26889&highlight=

Hier sogar mit Visualisierung!!!

MFG S1
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