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Logarithmusfunktion
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Christine.Bln
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 15:29:02    Titel: Logarithmusfunktion

Tach Leute, habe da mal ne knifflige Aufgabensammlung für euch .. schaft ihr die zu lösen ??
Wenn's geht bitte mir lösungsweg .. danke im voraus Smile

Gegeben ist die Funktion
f(x)= ln x - ln (6 - x)

1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f.
Wie verhält sich die Funktion an den Rändern der Def.menge ?

2) Errechnen Sie die Ableitung f' und f''

3) Wo leigt die Nullstelle von f ?

4) Zeigen Sie, dass f keine Extremalstellen besitzt

5) Untersuchen Sie auf Wendepunkte. Die dritte Abletung von f hat die Funktionsgleichung
f''' (x)= 2/x^3 + 2/(6 - x)^3 , die zur Untersuchung verwendet werden kann.

6) Skizzieren Sie den Graphen von f

7) Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t auf

Cool Wo schneidet der Graph von f die horizontale Gerade g(x)= 1 ?

9) Zeigen Sie dass F(x) = x*ln x + (6 - x) * ln(6 - x) eine Stammfunktion von f ist

10) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zw. dem Graphen von f, der horziontalen Geraden g (x) = 1 und den beiden Koordinatenachsen.
Verwenden Sie die Ergebnisse aus 3, 8 und 9



Hoffe ihr packt das zu knacken ... lg eure chrisi
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 16:42:55    Titel:

1) Df ln(x) : x >0

f(x)= ln(x) - ln (6 - x)
also muss x > 0 sein
ist x > 6 dann wird der 2. ln <= 0 also wird ungültig
folgt:
Df: 0 < x < 6

Randwerte:
lim x -> 0 f(x)= ln(x) - ln (6 - x) = oo - ln(6) also senkrechte Asymptote bei x = 0 nach -oo

lim x -> 6 f(x)= ln(x) - ln (6 - x) = ln(6) + oo also senkrechte Asymptote bei x = 6 nach + oo


2) Errechnen Sie die Ableitung f' und f''

f(x)= ln(x) - ln (6 - x)
f'(x) = 1/x + 1/(6-x)
f'(x) = x^-1 + (6-x)^-1
f''(x) = -1/x^2 + 1/(6-x)^2

3) Wo liegt die Nullstelle von f ?
0 = ln(x) - ln (6 - x)
ln(x) = ln (6 - x)
x = 6 - x
2x = 6
x = 3
N(3|0)

4) Zeigen Sie, dass f keine Extremalstellen besitzt
f'(x) = 0
0 = (6-x)/x(6-x) + x/x(6-x)
0 = 6-x + x
0 <> 6 also Widerspruch keine lokalen Extrema

5) Untersuchen Sie auf Wendepunkte. Die dritte Abletung von f hat die Funktionsgleichung
f''' (x)= 2/x^3 + 2/(6 - x)^3 , die zur Untersuchung verwendet werden kann.
f''(x) = 0
0 = -1/x^2 + 1/(6-x)^2
1/x^2 = 1/(6-x)^2
(6-x)^2 = x^2
6-x = x
6 = 2x
x = 3

f''' (3)= 2/3^3 + 2/(6 - 3)^3 = 2/3^3 + 2/3^3 = 4/3^3 also gültig

f(3) = 0
W(3|0)

6) Skizzieren Sie den Graphen von f


7) Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t auf
W(3|0)
f'(3) = 1/3 + 1/(6-3) = 2/3

0 = 2/3 * 3 + b -> b = -2
y = 2/3 x - 2

8 ) Wo schneidet der Graph von f die horizontale Gerade g(x)= 1 ?
ln(x) - ln (6 - x) = 1
ln(x) = 1 + ln (6 - x)
x = e^1 + 6 - x
2x = e^1 + 6
x = 1/2*e^1 + 3

9) Zeigen Sie dass F(x) = x*ln x + (6 - x) * ln(6 - x) eine Stammfunktion von f ist
F(x) = x*ln x + (6 - x) * ln(6 - x)
F'(x) = f(x) = 1*ln(x) + x/x - 1*ln(6 - x) - (6 - x) 1/(6-x)
F'(x) = ln(x) - ln(6-x)
f(x)= ln(x) - ln (6 - x)

10) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zw. dem Graphen von f, der horziontalen Geraden g (x) = 1 und den beiden Koordinatenachsen.
Verwenden Sie die Ergebnisse aus 3, 8 und 9
(1/2*e^1 + 3) = 4,3591

A = 3*1 + integral[3 bis 4,3591 ](1- f(x)) dx

A = 3 + |((4,3591-4,3591*ln (4,3591) - (6 - 4,3591) * ln(6 - 4,3591)) - (3-3*ln 3 - (6 - 3) * ln(6 - 3))|
A = 3 + |((4,3591-6,4177 - 0,812) - (-3,5916)|
A = 3 + 0,721
A = 3,72 FE
Christine.Bln
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 21:39:10    Titel:

einfach erstaunlich das es doch noch Menschen gibt die sowas berecnen können Shocked Very Happy

danke dir vielmals
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