Partielle Integration

May-Britt · Full Member Anmeldungsdatum: 17.02.2008 Beiträge: 125

Hallo ihr,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich gemacht habe, um zu sehen, ob ich das richtig verstanden habe. Nur leider komme ich immer auf ein falsches Ergebnis OO' Mein Taschenrechner sagt, dass [; \pi ;] rauskommen muss. Jedoch komme ich immer auf 0 - und finde den Fehler nicht.

Das Integral, das über die partielle Integration berechnet werden soll, ist folgendes:
[; \int_{-\pi}^{\pi}(cos^2x) dx ;]

Das habe ich zerlegt in:
[; \int_{-\pi}^{\pi}(\underbrace{(cos(x))}_{\text{u(x)}}\underbrace{(cos(x))}_{\text{v'(x)}}) dx ;]

Ich weiß, dass (in Kurzform): [; \int (u * v') = \left[ u * v \right] - \int (u' * v) ;] ist.

Somit ist das oben:
[; = \left[ (cos (x))(sin(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}(\underbrace{(-sin(x))}_{\text{u(x)}}\underbrace{(sin(x))}_{\text{v'(x)}}) dx ;]

Hinten also wieder diese Regel...

[; = \left[ (cos (x))(sin(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - (\left[ (-sin (x))(-cos(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}((-cos(x))(-cos(x)) dx) ;]

Und gekürzt, rausgezogen etc.:

[; = \left[ (cos (x))(sin(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \left[ (-sin (x))(-cos(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}(cos^2(x)) dx ;]

Jetzt rechte ich [; +\int_{-\pi}^{\pi}(cos^2(x)) dx ;], dann ist die Gleichung:

[; 2 \int_{-\pi}^{\pi}(cos^2(x)) dx = \left[ (cos (x))(sin(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \left[ (-sin (x))(-cos(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} ;]

Jetzt setze ich hinten jeweils die Grenzen ein, subtrahiere und bekomme Schlussendlich 0 raus... Ich schreib das mal so:

[; = (((cos(\pi))(sin(\pi))) - ((cos(-\pi))(sin(-\pi))) ) - (((-sin(\pi))(-cos(\pi))) - ((-cos(-\pi))(-sin(-\pi))) ) ;]

Das dividiere ich durch 2... Aber da [; sin(\pi) ;] immer 0 ergibt, egal ob + oder - etc., kann da ja nur 0 rauskommen.

Habe ich irgendwo einen Denkfehler? Oder kann es sein, dass mein Taschenrechner das durch falsche Eingabe falsch berechnet?

P.S: Um die Rechnung richtig sehen zu können, benötigt ihr TeX (the world).

theticket · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 20:48:29 Titel:

Dein Taschenrechner hat schon Recht. Wink

Doch du hast einen Vorzeichenfehler gemacht:

Beim zweiten Anwenden der partiellen Integration, wird das Minus vor dem neu entstandenem Integral, zusammen mit dem Minus, das beim ersten Anwenden entsteht, zum Plus. Laughing

Ich hoff du hast das verstanden?

mfg & LG

Calculus · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 20:52:07 Titel:

Statt erneuter partieller Integration solltest du anwenden, dass sin(x²) = 1 - cos²(x).

Das Ergebnis stimmt jedoch, da cos²(x) Symmetrisch zur Hochachse ist.

May-Britt · Full Member Anmeldungsdatum: 17.02.2008 Beiträge: 125

Calculus, an welcher Stelle meinst du das? An der: [; = \left[ (cos (x))(sin(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - (\left[ (-sin (x))(-cos(x)) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}((-cos(x))(-cos(x)) dx) ;] ?

Und wenn ja, wie geht das dann mit dem Minus davor? Das Problem mit dem Trigonometrischen Pythagoras ist nämlich, dass wir ihn kurz angesprochen haben in der 10. - aber ihn dann nie verwendet haben, geschweige denn weiter betrachtet.

Und welches Ergebnis meinst du? 0 oder [; \pi ;] ?

Calculus · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 21:16:52 Titel:

Genau vor dieser Integration sollst du den trig. Pythagoras anwenden, 0 als Ergebnis für das bestimmte Integral von -pi bis pi stimmt.

theticket · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 21:18:20 Titel:

@ calculus: Nicht jedes Integral, bei der die Integrandenfunktion symmetrisch zur y-Achse ist, ist gleich null. Oder wie meinst du das?

mfg & LG

May-Britt · Full Member Anmeldungsdatum: 17.02.2008 Beiträge: 125

²Calculus: Wie meinst du das? Embarassed

Irgendwie bin ich jetzt gerade verwirrt. Du meinst, das Integral von -Pi bis Pi über cos²(x) schreiben als_

Integral von -Pi bis Pi über 1 - Integral von -Pi bis Pi über sin²(x) ?

Calculus · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 21:26:41 Titel:

May-Britt · Full Member Anmeldungsdatum: 17.02.2008 Beiträge: 125

Aber da ist doch einmal das positive und einmal das negative sin(x).. Geht das da einfach? (Oder denke ich gerade einfach am einfachen Weg vorbei? Oo')

Calculus · Verfasst am: 18 Nov 2008 - 21:30:37 Titel:

(-sin(x)) * sin(x) = -(sin(x) * sin(x)) = -sin²(x)