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Integral einer gedämpften Schwingung
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Tiberias
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Anmeldungsdatum: 11.08.2008
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2008 - 17:00:00    Titel: Integral einer gedämpften Schwingung

Ein freundliches Hallo in die Runde.

Ein kleines Problem habe ich beim bestimmen des Integrals einer gedämpften Schwingung. Leider habe ich gar keine Ahnung wie da anfangen soll. Stichwort: Gaußknacker ?


Für die Physiker:

Die Funktion müsste lauten: y(t)=e^(-delta*t) *sin(omega.d. * t)

Phi0 ist null und daher erwähne ich sie erst gar nicht in der Gleichung.

Was ich mir überlegt habe ist folgendes:

Da es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt, könnte man über die Hüllkurve [ y-dach (t) = y-dach-0 *e^(-delta*t) ] ??

Wie gesagt, ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Auf einige Anhaltspunkte würde ich mich sehr freuen!


[Wenn eine Zeichnung von Nöten sei, stelle ich eine rein. Ich denke aber, dass die Zeichnung einer normalen gedämpften Schwingung bekannt sei. Eben eine Schwingung, deren Amplituden im Laufe der Zeit immer kleiner werden.]
Tiberias
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Anmeldungsdatum: 11.08.2008
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2008 - 20:43:52    Titel:

Hat niemand irgendwie einen Ansatz?



Hier die Skizze. Hab ich bei Google gefunden passt genau auf meine Frage.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2008 - 20:55:43    Titel: Eine Möglichkeit:

Darstellung von sin(w*t) als Imaginärteil von exp (j*w*t): sin(w*t) = [exp(j*w*t) - exp(-j*w*t)] /[2*j] ermöglicht Darstellung des Integranden als Summe zweier Exponentialfunktionen, welche (zunächst getrennt) leicht integrierbar sind. Anschliessend lässt sich aus der Stammfunktion rückwärts eine trigonometrische Darstellung finden.
Tiberias
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Anmeldungsdatum: 11.08.2008
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2008 - 00:17:13    Titel:

Ersteinmal Danke! Zwar haben wir mit den imaginären Zahlen begonnen, jedoch nur im Bezug auf Schaltungen. Daher verstehe ich deinen Lösungsansatz nicht ganz.

Zitat:
exp (j*w*t): sin(w*t) = diesen Übergang z.B. verstehe ich nicht [exp(j*w*t) - exp(-j*w*t)] /[2*j]


Vielen dank!
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2008 - 00:31:31    Titel: sin(w*t) = [exp(j*w*t)-exp(-j*w*t)]/[2*j]

und cos(w*t) = [exp(j*w*t)+exp(-j*w*t)]/2
folgen aus Im(z) = [z-conj(z)]/[2*j] und Re (z) = [z+conj(z)]/2
ferner: exp(j*x) = cos(x)*j*sin(x), conj[exp(j*x)] = exp(-j*x)
--
EDIT [kurz vor Dezember]: oder sonst wohl besser partielle Integration für cos(w*t)*exp(-d*t) und sin(w*t)*exp(-d*t) gemeinsam, und beobachten, dass sie sich unterwegs wechselseitig ergänzen.

[; \int \underbrace{\mathrm{e}^{- \delta \cdot t}}_{\uparrow -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t}} \cdot \underbrace{cos(\omega \cdot t)}_{\downarrow -\omega \cdot sin(\omega \cdot t)} \cdot \mathrm{d}t
;][; = -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t)
-\frac{\omega}{\delta} \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t}\cdot sin(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t ;]

[; \int \underbrace{\mathrm{e}^{- \delta \cdot t}}_{\uparrow -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t}} \cdot \underbrace{sin(\omega \cdot t)}_{\downarrow \omega \cdot cos(\omega \cdot t)} \cdot \mathrm{d}t
;][; = -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t)
+\frac{\omega}{\delta} \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t}\cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t ;]

[; \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t = -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) ;][; -\frac{\omega}{\delta} \cdot [-\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t)
+\frac{\omega}{\delta} \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t}\cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t ] ;]

[; (1+\frac{\omega^2}{\delta^2}) \cdot \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t = -\frac{1}{\delta}\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) ;][; +\frac{\omega}{\delta^2} \cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t) +const. ;]

[; (\delta^2 +\omega^2) \cdot \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t = ;][;-\delta\cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) +\omega \cdot \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t) +const. ;]

[; \int \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t) \cdot \mathrm{d}t = ;][; \mathrm{e}^{- \delta \cdot t} \cdot \frac{-\delta\cdot cos(\omega \cdot t) +\omega \cdot sin(\omega \cdot t)}{\delta^2 +\omega^2} +const. ;]
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