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Thermodynamik: Cp u. Cv
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roman*
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Anmeldungsdatum: 25.12.2006
Beiträge: 100
Wohnort: Mainz

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 16:13:29    Titel: Thermodynamik: Cp u. Cv

Zeigen Sie, dass der folgende Zusammenhang gilt:

Cp - Cv = [p(∂U/ ∂V)T ] * (∂V/ ∂T)p

Cp und Cv sind die spezifischen molaren Wärmekapazitäten. Nehmen Sie den ersten Hauptsatz zu Hilfe und machen Sie sich versäntdlich was der Ausdruck physikalisch bedeutet.

1.HS = dU = W + Q
2. Cp - Cv = R (ideale Gaskonstante)

Ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen muss bzw. soll....
Würde mich über jeden Tip und jede Hilfe freuen.
Mephistoles
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 06.04.2008
Beiträge: 2193

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 16:20:20    Titel:

Na sieht doch so aus, als müsstest du nur noch beweisen, dass R= [p(∂U/ ∂V)T ] * (∂V/ ∂T)p ist...
Oldy
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 500

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2008 - 17:02:43    Titel:

Cv gibt die Wärmemenge an, die je K Temperaturerhöhung zugeführt werden muss, wenn das Volumen konstant gehalten wird.
Cp gibt die Wärmemenge an, die je K Temperaturerhöhung zugeführt werden muss, wenn der Druck konstant gehalten wird.

Im ersten Fall (V= const, isochor) steigt der Druck im Gas an. Im zweiten Fall (p=const, isobar) wird der Druck konstant gehalten. Das geht nur, wenn man zulässt, dass das Gas sich ausdeht. In diesem Fall nimmt also das Volumen je K um einen bestimmten Betrag zu. Dabei muss das Gas Arbeit leisten. Würde man gleich viel Wärme zuführen, wie im ersten Fall, so würde die Temperaturerhöhung nun kleiner ausfallen, da ein Teil der in Form von Wärme zugeführten Energie für die Arbeitsleistung verwendet wird. Will man die gleiche Temperaturerhöhung erreichen, so muss also im isobaren Fall mehr Wärme zugeführt werden als im isochoren Fall. Darum ist Cp > Cv.
Die Differenz Cp-Cv gibt an, wieviel mehr an Wärme (je K Temperaturerhöhung und je Mol) zugeführt werden muss.

Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes kann diese Größe aus den Zustandsgleichungen berechnet werden. Die Frage ist nun also, wieviel mehr an Wärme muss im isobaren Fall zugeführt werden?

Die Temperaturänderung sei dT, die damit einhergehende Volumenänderung sei dV. Der erste Hauptsatz sagt: dU= dQ + dW = dQ -p.dV bzw. dQ = dU + p.dV

Hier kommt mit dem zweiten Summanden (+p.dV) nochmals der zusätzliche Wärmebedarf für die mit einer Volumenvergrößerung verbunden Arbeit zum Ausdruck. Noch offen ist der Anteil dU: Ändert sich die innere Energie im isobaren Fall mehr als im ischoren Fall?

Die Änderung der inneren Energie ist ja allgemein dU= (∂U/∂V)|T * dV + (∂U/∂T)|V * dT
Nun vergleicht man die Änderung der inneren Energie für den isobaren Fall mit dem isochoren Fall:
- Isochor: dU = (∂U/∂T)|V * dT (-- da ja dV=0 --) = Cv*dT
- Isobar: dU = (∂U/∂V)|T * dV + (∂U/∂T)|V * dT = (∂U/∂V)|T * dV + Cv * dT

Die Änderung der inneren Energie im isobaren Fall ist offenbar um (∂U/∂V)|T * dV größer als im isochoren Fall. Darin drückt sich aus, wie die innere Energie vom Volumen allein abhängt.

Insgesamt muss also im isobaren Fall genau um dQ= p*dV + (∂U/∂V)|T * dV = [p + (∂U/∂V)|T ]* dV mehr Wärme zugeführt werden, um die gleiche Temperaturerhöhung dT zu bewirken, d.h.:

(Cp-Cv) = dQ/dT= [ (∂U/ ∂V)|T + p]* (∂V/∂T)|p

(∂V/∂T)|p deshalb, weil für die Herleitung der obigen Beziehung zwischen dV und dT ja konstanter Druck vorausgesetzt wurde.

Die von dir angegebene Formel kann nicht richtig sein. Es muss in der Klammer "+" statt "*" heißen. Das kann man schnell prüfen, wenn man ein ideales Gas annimmt. Dann ist (dU/dV)|T = 0, aber es muss Cp-Cv = R herauskommen.

Für das ideale Gas folgt aus obigem Zusammenhang wegen (dU/dV)|T = 0:
Cp-Cv = p*(∂V/ ∂T)|p = p*∂/∂T[R.T/p]|p = ∂/∂T[R.T] = R
roman*
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Anmeldungsdatum: 25.12.2006
Beiträge: 100
Wohnort: Mainz

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 01:47:38    Titel:

@Oldy

Wow, ich bin gerade etwas fix und fertig u. werde deinen Text nochmal auf einem Blatt Papier nochmals durchgehen. Ich bin schon vor ein paar Wochen weitergekommen und habe mir damals das (parital V / partial T)p hergeleitet:

pV = nRT

=> partial V/ partial T = nR/p

Dann kam ich einfach nicht weiter mit dem Rest, habe nur irgendwo gelesen, dass (partial U / partial V)T = 0 ist.

Somit kommt man auf nR bzw Rm. Mein Kopf raucht, weil ich an solchen Dingen Stunden verbrauche und irgendwie nicht weiterkomme.

Aber ein dickes Danke für deinen Beitrag. Ich bin gerade sau müde u. bin froh über deinen Artikel.

Vielen Dank
roman
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