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bestimmung ganzrationaler funktionen.
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EVILIN
Gast






BeitragVerfasst am: 22 Apr 2005 - 15:36:58    Titel: bestimmung ganzrationaler funktionen.

kann mir jemand helfen? hab am montag mathevortrag und kann diese aufgabe nicht lösen:
Bestimme Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 4 , die gerade ist, die Wendestelle x=1 und das relative Minimum 0 hat.
Gast







BeitragVerfasst am: 22 Apr 2005 - 17:23:49    Titel:

Also:

Alle ganzrationalen Fkt vom Grad 4 sind:
f(x)=a*x^4+b*x³+c*x²+d*x+e , a ungleich 0

Sie sollen gerade sein (d.h. symmetrisch zur y-Achse), also nur gerade Exponenten:=> b=d=0
f(x)=a*x^4+c*x²+e

Wendestelle bei 1 heisst f''(1)=0 (Bemerkung: da f spiegelsymm. ist, heisst das allerdings automatisch auch Wendestelle bei x=-1)

f'(x)=4ax³+2cx
f''(x)=12ax²+2c

12a+2c=0 => c=-6a

also f(x)=a*x^4-6a*x²+e

Ein minimum bei x=0 heisst f''(0)>0

-12a>0 => a<0

Alle ganzrat. Fkt. mit den geforderten Eigenschaft haben die Form:

f(x)=a*x^4-6a*x²+e mit a<0, e beliebig (also Element R)
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