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Matrix der Quadratischen Form det
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xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 13:46:07    Titel: Matrix der Quadratischen Form det

Hi,

wie bestimme ich die Matrix zur quadratischen Form det: M_2(K) -> K, A|->det(A)? (Also die Determinante einer 2x2-Matrix).

Bei "normalen" Vektoren und eine quadrat. Form q muss ich ja eine Matrix wählen mit v^t A v = q(v).
Aber wenn ich Matrizen hab, funktioniert das ja nicht, denn dann kommt ja wieder eine 2x2-Matrix raus.

Wäre für hilfe dankbar.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 14:01:16    Titel:

Sowas habe ich noch nie gesehen. Tatsache ist aber, daß wenn Du als letzte Operation in einer Form A*B*C eine Matrixmultiplikation mit einer 2x2 Matrix hast, so bekommst Du nie als Ergebnis ein Körperelement. Daher muß man sich die Definition einer "Matrix einer quadratischen Form" anschauen. Hast Du eine?
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 15:57:26    Titel:

Sorry, mein Fehler.

Also die eigentliche aufgabe war, die Sylvester-Signatur der quadratischen Formen
det: M_2(K) -> K, A->det(A)
und
q: M_n(K) -> K, q(A)=spur(A²)

Für det müsste das ja 0 sein, da det(A)>0 => det(-A)<0. Aber richtig begründen kann ich das nicht. Und für q komm ich überhaupt nicht weiter.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 16:13:14    Titel:

Da mußt Du mir auf die Sprünge helfen. In LA wird oft mit Signatur einer Matrix das Tupel (a,b,c) bezeichnet, wobei a die Anzahl der positiven, b der negativen und c der 0-Eigenwerte. Meinst Du mit Sylvester-Signatur diese? Ich habe paar Minuten gegoogelt und nichts dazu gefunden.

Wenn ja, dann braucht man eine Matrix dazu. Der einzige Ausweg, der mir einfällt, ist die Eingabe zu "linearisieren". Also eine K^(2x2) als K^4 zu betrachten. Dann geht natürlich was.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 16:48:02    Titel:

Ja genau.
Also wenn b eine bilinearform auf V ist, dann gibt es eine eindeutige Zerlegung in V_0, V_+ und V_- so dass die direkte Summe aus den dreien = V ist und für v aus V_0 b(v,v)=0, für v aus V_+ b(v,v) positiv und für v aus V_- negativ definit.
Die Sylvester Signatur ist dann definiert als dim(V_+)-dim(V_-).
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 18:08:35    Titel:

Der K^(2x2) ist ein 4-dimensionaler VR und somit gibt es ein KoordinatenIso Phi in K^4. Sei einfach nur Phi(((a,b),(c,d))) = (a,b,c,d).

Ab jetzt rechne ich nur im K^4. Die Bilenarform det(v) mit v = Phi(M) ist gegeben durch

det(v) = v A v^T

mit

A =
0,0,0,1
0,0,-1,0
0,0,0,0
0,0,0,0

denn A * (a,b,c,d)^T = (d,-c,0,0)^T und

(a,b,c,d)*(d,-c,0,0)^T = ad - cb

was der Determinantenbildung entspricht. Da sieht man, daß die Diagonalform von A

1,0,0,0
0,-1,0,0
0,0,0,0
0,0,0,0

z.B. ist und somit hast Du dim V_- + - dim V_+ = 0
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 27 Apr 2005 - 12:58:44    Titel:

Hat's denn was genützt, die Antwort?
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