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Delannoyzahlen
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?Mathe?
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Anmeldungsdatum: 19.04.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 11:38:53    Titel: Delannoyzahlen

Hi,
ich habe hier die Delannoyzahlen und soll beweisen, das für:
Def:
[;$$d_{a,b}:=d_{a-1,b}+d_{a,b-1}+d_{a-1,b-1};d_{0,0}:=1;d_{0,b}=d_{a,0}:=1,a,b \in \mathbb{N}$$;]

das [;$d_{a,b}=d_{b,a}$;] gilt.

Aufgrund der Tabelle wird es ja auch ersichtlich, ich weiß aber nicht wie ich anfangen soll.

[;\begin{tabular}{|l|l|l|l|l}
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & \dots \\
\hline
1 & 3 & 5 & 7 & \dots \\
\hline
1 & 5 & d_{3,3} & d_{3,4} & \dots \\
\hline
1 & 7 & d_{4,3} & d_{4,4} & \dots \\
\hline
1 & 9 & \dots & \dots & \dots \\
\end{tabular};]



Vielleicht hat jemand für mich einen Tipp oder eine Idee,
Danke schon mal vorab...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 13:05:11    Titel:

Vollständige Induktion nach max(a,b) sollte funktionieren...

Cyrix
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Anmeldungsdatum: 19.04.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 14:51:54    Titel:

Vollständige Induktion ist ja kein thema, aber wie lautet denn da die I.V. Question
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 15:48:12    Titel:

Nun, wenn du nach max(a,b) eine Induktion durchführen sollst, wie wird dann wohl die Induktionsvoraussetzung lauten?

Cyrix
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Anmeldungsdatum: 19.04.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 23:48:04    Titel:

Ich würde es erst mal so probieren:
Sei a:=1 und b:=1 folgt,

[;d_{1,1}=d_{1-1,1}+d_{1,1-1}d_{0,0};]
[;d_{1,1}=d_{0,b}+d_{a,0}d_{0,0};]
[;d_{1,1}=1+1+1=3;]

Das würde ja erstmal so stimmen, mein problem ist nur wenn a:=1 und b:=1, dann ist ja a=b Embarassed
Und dann müsste man sich ja die arbeit gar nicht erstmachen.
Irgendwie find ich da keinen sinnvollen Ansatz.
?Mathe?
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Anmeldungsdatum: 19.04.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 23:28:50    Titel:

Hat keiner mehr eine Idee, die Zahlen im "koordinatensystem" beschreiben ja die möglichen Wege von [;$d_(0,0)$;] nach bsp. [;$d_(5,7)$;] oder [;$d_(7,5)$;], dann ist es ja klar das [;$d_(a,b)=d_(b,a)$;] gilt (weil man immer die gleiche Anzahl von der möglichen Wege hat). Da es sich um [;\mathbb{N};] handelt muss es ja mit vollständiger Induktion möglich sein.
Aber mein ansatz ist ja irgendwie nicht so gut Embarassed
Viielleicht fällt ja jemandem noch was besseres ein

Thx schon mal
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 23:31:41    Titel:

Nun, die Lösungsidee steht schon seit Anfang an hier im Thread...

Cyrix
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Anmeldungsdatum: 19.04.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 23:56:00    Titel:

Irgendwie habe ich Ladehemmungen Very Happy
Was hältst du von meiner I.V. ?????
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 00:02:34    Titel:

Wie wäre es mit dieser Voraussetzung: Für alle (a,b) mit a,b<=n gilt d(a,b)=d(b,a) ?

Dann müsstest du nur als Induktiosnschritt zeigen, dass d(n+1,a)=d(a,n+1) für alle a<=n ist. (Warum?)


Grüße, Cyrix
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