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[Erledigt]Integralbestimmung
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Sydoni
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Anmeldungsdatum: 22.01.2009
Beiträge: 322
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BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 18:22:35    Titel: [Erledigt]Integralbestimmung

Hallo, wäre klasse wenn jemand ein zwei Tipps zum lösen folgender Aufgabe für mich parat hätte; ich bin mit meinem Latein mittlerweile am Ende Confused ...

Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel. Dabei entspricht einer Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit

a) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals
b) Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist?
c)Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur noch bis zur halben Höhe gefüllt ist?
d)Wie hoch muss das Wasser stehen, damit das Wasservolumen 50% beträgt?


a)

Dem ganzen liegt noch das Bild des Kanals bei; dabei handelt es sich um eine Parabel, von der die drei Punkte: V(0|0), P1(-4|2); P2(4|2)
(Nochmal als Verdeutlichung: Gestreckte Normalparabel, für die P1 und P2 jeweils den Rand des Kanals markieren).


Dadurch ist dann klar, dass es sich um eine Parabel der Form:

f(x)= a[;x^{2};]

Durch Einsetzen und Auflösen nach a erhält man dann das Ergebnis; genaue Parabel ist:

f(x)=[;\frac{1}{8} x^{2};]

Da der Kanal selbst 2m hoch ist, lautet die zweite Gleichung:

g(x)=2

Für die Berechnung der Fläche gilt dann:

[;\int_{-4}^{4}~(2-\frac{1}{8} x^{2})~dx;]

Ergebnis hierfür wäre dann 32/3.


=> Vorangegangener Text war nur um einen Einblick ins Problem zu geben, da dieser Wert ausgerechnet werden muss, um d) zu lösen, was derzeit mein Problem darstellt.


Problem:

Da der Querschnitt des Kanals eine Fläche von [;\frac{32}{3};] m² besitzt, soll die neue Wasserhöhe des Kanals so hoch sein, sodass für die Querschnittsfläche des Kanals [;\frac{16}{3};] m² herauskommt.

[;\int_{b}^{a}~(h- \frac{1}{8} x^{2})~dx = \frac{16}{3};]

(h= Höhe des Wasserpegels)


Nun sehe ich derzeit keine Möglichkeit wie ich das Problem lösen könnte, da in der Gleichung drei unbekannte Variablen vorkommen. Der letzte Satz meines Mathelehrers zu dieser Aufgabe, dass sie nur mit GTR zu berechnen ist, hat mir da auch nicht viel mehr weitergeholfen. Wäre klasse, falls einer von euch mir auf den rechten Weg der Erleuchtung verhelfen kann Smile


Zuletzt bearbeitet von Sydoni am 22 Jan 2009 - 22:44:59, insgesamt einmal bearbeitet
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
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BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 18:39:44    Titel:

Die Grenzen a und b sind nicht unabhängig von h. Smile

Reicht das schon?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 18:49:08    Titel:

.

[;\int_{b}^{a}~(h- \frac{1}{8} x^{2})~dx = \frac{16}{3};]

wenn die Parabel also immer noch Randlinie des Querschnitts ist

wenn das Wasser - oh Wunder - wohl waagrechte Oberfläche hat ..
..also links am Parabel-Rand gleich hoch steht wie rechts am Rand ?

wird doch - falls 0<a<4 - dann b= - a sein ?
und die Höhe des Wasserspiegels h= (1/8 )*a^2 sein müssen?

Irrweg ? ..oder damit nun doch auf dem ..
Zitat:
.. Weg der Erleuchtung ?
..
Very Happy


Zuletzt bearbeitet von mathefan am 22 Jan 2009 - 20:01:05, insgesamt einmal bearbeitet
Sydoni
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Anmeldungsdatum: 22.01.2009
Beiträge: 322
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 19:49:58    Titel:

Ersteinmal ein großes Dankeschön an eure beiden Antworten =)



Zitat:

Irrweg ? ..oder damit nun doch auf dem ..
Zitat:
.. Weg der Erleuchtung ?
..
:Very Happy:


Es rattert im Oberstübchen und es scheint als würde sich der Groschen in Bewegung setzen.

Überlegung: Da Der Kanal zur Y-Achse symmetrisch ist, habe ich gedacht, dass ich nur die positive Seite betrachte, also praktisch [0,a]

[;\int_{0}^{a}~(\frac{1}{8} a^{2})-( \frac{1}{8} x^{2})~dx= \frac{8}{3} ;]

Wenn ich nun die Hilfsfunktion h(x) = [;\int_{0}^{a}~(\frac{1}{8} a^{2})-( \frac{1}{8} x^{2})~dx- \frac{8}{3} ;]

bilde, erhalte ich für x=3.21 (über GTR).

Wiederum über h(x)=[;\frac{1}{8}x^{2};] erhalte ich für die Höhe ca. 1.288m.

Ist dies so korrekt, oder habe ich etwas übersehen bzw. nicht beachtet?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 20:09:47    Titel:

ok

a= 32^(1/3)

h= (1/8 )* [1024^(1/3)]

Very Happy
Sydoni
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Anmeldungsdatum: 22.01.2009
Beiträge: 322
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 21:33:05    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
ok

a= 32^(1/3)

h= (1/8 )* [1024^(1/3)]

Very Happy


Auch wenn ich mich jetzt wohl als totaler Depp oute, aber wie komme ich denn jetzt auf a, das will mir einfach nicht in den Kopf Crying or Very sad
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 21:47:50    Titel:

.
Zitat:
oute, aber wie komme ich denn jetzt auf a


dein bestimmtes Integral (1/8 )*INT[a^2-x^2)dx in den Grenzen(0,a) berechnen:

(1/8 )*[a^2*x - (x^3)/3] in den Grenzen(0,a) => (1/8 )*[a^3 - (a^3)/3]=(a^3)/12

und das soll ja nun gleich 8/3 sein also:

a^3= 12* ( 8/3) = 32

so - blickst dus nun?
und schaffst den Rest?

.
Sydoni
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Anmeldungsdatum: 22.01.2009
Beiträge: 322
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 22:00:43    Titel:

Ja, jetzt hab ichs kapiert Wink

Vielen Dank nochmal Smile
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