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Kürzester Abstand zweier Geraden in R^3
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shark123
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Anmeldungsdatum: 11.02.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2009 - 21:39:25    Titel: Kürzester Abstand zweier Geraden in R^3

Hallo!

Ich muss durch 2 verschiedene Verfahren (ich gehe mal davon aus dass es die Lotfußpunktmethode und die Lotebenenmethode ist) den Abstand zweier Geraden in R^3 berechnen.
Kann mir bitte mal jemand grob die 2 Verfahren erläutern?
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2009 - 22:19:35    Titel:

Ich glaube, was du meinst, ist beides Mal das Gleiche.
Eine Methode ist halt den Verbindungsvektor zweier Punkte verschiedener Geraden zu suchen, der senkrecht auf beide Geraden, also gerade auf deren Richtungsvektoren, steht.
Macht bei zwei Variablen zwei Gleichungen.

Damit verwandt ist auch zwei parallele Hilfsebenen zu nehmen, in denen je eine der Gerade enthalten ist, und dann einfach den Abstand der Ebenen auszurechnen.

Eine andere Möglichkeit, die ich aber nie ausprobiert habe, könnte sein, dass man für jeden Punkt der einen Gerade den Abstand zur anderen Gerade berechnet und dann das Minimum der Abstandsfunktion in Abhängigkeit des Parameters der ersten Gerade macht. Wenn das funktioniert, ist es auf jeden Fall sehr umständlich.
shark123
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Anmeldungsdatum: 11.02.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 20:00:23    Titel:

so... also die erste methode ist folgende:

gegeben sind die beiden geradengleichungen von g und h

Man wählt sich eine Hilfsebene E, die die eine Gerade enthält (z. B. die Gerade h) und parallel zur anderen Geraden (z. B. zur Geraden g) ist (die Richtungsvektoren beider Geraden sind also auch Richtungsvektoren der Ebene, der Stützvektor der Gerade h ist auch Stützvektor der Ebene).

Da die Gerade g parallel zur Ebene E ist, hat jeder Punkt auf g den gleichen Abstand zu E.

Man kann also von einem beliebigen Punkt auf g (z. B. vom Punkt, der durch den Stützvektor von g beschrieben wird) den Abstand zu E berechnen, indem man wie beim Problem "Abstand eines Punktes von einer Ebenen" verfährt.




aber welche möglichkeit gibt es noch??
kann die zweite vll jemand beschreiben??
Teevee
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Anmeldungsdatum: 24.03.2007
Beiträge: 116

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 21:02:25    Titel:

sollten beide geragen parallel sein, kann man auch vom antrags- und richtungsvektor der einen geraden den antragsvektor der anderen abziehen.
das skalarprodukt dieses ausdrucks mit dem richtungsvektor (parallel, also egal welcher) muss null ergeben.
mit dieser gleichung ermitteln man den parameter einer geraden, der vektor von dem dadurch bestimmten punkt auf den antragspunkt der anderen geraden steht senkrecht auf beide => abstand = betrag dieses vektors

ok, das war jetzt ziemlich viel text, hier mal anschaulich mathematisch:
(die vektorpfeile sind hier nicht extra drauf)

g: x = a + k * v
h: x = b + l * w

[-a + b + l * w] * v = 0
das liefert einen wert für l

jetzt kann man den abstand berechnen d = | -a + b + l * w |

das geht schnell zügig und ist nicht so fehleranfällig wie andere rechenlastigere methoden



die letztere von ultrix angesprochene methode (das mit der abstandsfunktion) ist bei windschiefen geraden ziemlich mühselig, da würde ich es lieber so machen wie ein vorposter:
die eine gerade mit dem richtungsvektor der anderen zu einer ebene erweitern, dann den abstand zu eienem punkt der anderen geraden ermitteln.
shark123
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Anmeldungsdatum: 11.02.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 23:43:10    Titel:

danke!
aber wie du gesagt hast funktioniert das ja nur bei parallelen geraden...
aber was mache ich wenn die geraden windschief sind??
ich meine jetzt außer der methode mit der hilfsebene!
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 00:08:31    Titel:

Nehmen wir dann einfach das mit dem senkrechten Verbindungsvektor.

g1: p = a + alpha*r
g2: p = b + beta*t

Verbindungsvektor u zwischen zwei Punkten der Geraden:
u = a-b + alpha*r -beta*t

Es muss für den gesuchten Verbindungsvektor gelten, dass er senkrecht auf die Richutngsvektoren steht (es soll ja die kürzeste Entfernung sein):

u*r = 0
u*t = 0

Macht zwei Gleichungen für zwei Veriablen, alles bleibt linear.
Damit bestimmst du die Parameter (und bei Bedarf mit den Parametern die zugehörigen Punkte), und die Länge des Verbindungsvektors u ist gerade der Abstand dieser Punkte.
shark123
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Anmeldungsdatum: 11.02.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 18:10:16    Titel:

ultrix hat folgendes geschrieben:

u*r = 0
u*t = 0


damit meinst du skalarprodukt, oder?
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
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BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 23:18:00    Titel:

jop, für das Vektorprodukt hätte ich ein X gemacht.
shark123
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Anmeldungsdatum: 11.02.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 17:36:58    Titel:

ok, ich wollte nur sichergehen^^

aber kannst du mir nochmal schnell erklären wie man darauf kommt:
ultrix hat folgendes geschrieben:


Verbindungsvektor u zwischen zwei Punkten der Geraden:
u = a-b + alpha*r -beta*t



also wie man auf u kommt?
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 19:18:06    Titel:

Für alle Punkte P auf der Geraden g1 gilt die Gleichung p=a + alpha*r .
Für alle Punkte Q auf der Geraden g2 gilt die Gleichung q=b + beta*t .

Für den Verbindungsvektor u zweier beliebiger Punkt P und Q gilt allgemein der Zusammenhang:
u=QP = p - q = a+alpha*r - b - beta*t = a-b +alpha*r - beta*t
u=a-b +alpha*r - beta*t
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